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Taylorpolynom n bestimmen

Universität / Fachhochschule

Tags: Taylorentwicklung, Taylorpolynom

goratzi aktiv_icon

13:04 Uhr, 20.04.2013

Servus,
ich habe eine Frage bezüglich Taylorentwicklung:

Für

x ≻ 2

betrachten wir die Funktion

L (x) = ln (2 + x)

. Berechnen Sie das Taylor-Polynom n-ten Grades

(n \in ℕ)

von

L

zum Entwicklungspunkt

x_{0} = - 1

und das zugehörige Lagrangesche Restglied.

Ich wäre so vorgegangen:

L (x) = ln (2 + x)

L (- 1) = 0

L' (x) = \frac{1}{x + 2}

L' (- 1) = 1

L'' (x) = - \frac{1}{{(x + 2)}^{2}}

L'' (- 1) = - 1

L''' (x) = \frac{2}{{(x + 2)}^{3}}

L''' (- 1) = 2

So, jetzt kann ich das Taylorpolynom aufstellen:

\sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{k} (- 1)}{k!} (x - x_{0})

So, jetzt zu meiner Frage: Wie komme ich auf den Wert von

n

über dem Summenzeichen?

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

lepton

16:53 Uhr, 20.04.2013

Du sollst hier die n-te Ableitung von

L (x)

bestimmen und dann anschließend an der Stelle

x_{0} = - 1

das Taylorpolynom auswerten. Wenn du von L ein paar Ableitungen bildest, dann erkennt man eine eindeutige Muster wie die n-te Ableitung aussehen müsste.

zuebung aktiv_icon

17:02 Uhr, 20.04.2013

Ok, das sollte noch gehen, aber wie werte ich das Taylorpolynom dann an der stelle

n

aus?
Danke!

lepton

17:06 Uhr, 20.04.2013

Du setzt dein

L^{(n)} (x)

in die allgemeine Taylorreihe ein und wertest an der Stelle

x_{0} = - 1

aus.

http//de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe

goratzi aktiv_icon

18:05 Uhr, 20.04.2013

Ich habe jetzt folgendes gemacht:

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{L (- 1)}{0!} {(x + 1)}^{0} + \frac{L' (- 1)}{1!} {(x + 1)}^{1} + \frac{L'' (- 1)}{2!} {(x + 1)}^{2} + ... + \frac{L^{(n)} (- 1)}{n!} {(x + 1)}^{n}

Stimmt das soweit und wie gehts jetzt weiter?
Danke!

lepton

18:35 Uhr, 20.04.2013

Nein, deine mathem. Darstellung der Taylorreihe ergibt überhaupt gar keinen Sinn!
Taylorreihe:

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} (x - x_{0})^{n}

D.h. dir fehlt nur noch die n-te Ableitung von L. Wie lautet den nun die n-te Ableitung? Schaue dir doch deine schon gebildeten ersten drei Ableitungen an, meinet wegen kannst du noch die 4. bzw. noch die 5. hinzufügen, dann sollte aber Schluss sein, weil man sofort die Struktur der Differentiationen erkennt.

goratzi aktiv_icon

09:39 Uhr, 21.04.2013

Ich wäre jetzt soweit:

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{\frac{(n - 1)!}{{(2 - x_{0})}^{n}}}{n!} \cdot {(x - x_{0})}^{n}

Stimmt das? Wie mache ich weiter?

lepton

12:09 Uhr, 21.04.2013

Nein, deine n-te Ableitung stimmt nicht. Warum machst du dir das Leben so schwer bei so einer trivialen Fkt. Wenn man doch die ersten paar Ableitungen bildet, erkennt man dch eine eindeutige Gesetzmäßigkeit.
1. Ableitungen alternieren
2. Zähler stellt die Fakultät dar
3. Exponent des Nenners erhöht sich um eine Einheit

Fasst man das alles jetzt kompakt zusammen, dann kommt folgendes Gericht zustande

L^{(n)} (x) = (- 1)^{n + 1} \frac{(n - 1)!}{(x + 2)^{n}}, \forall n \geq 1

. Hoffe der Rest durfte für dich jetzt klar sein.

goratzi aktiv_icon

12:16 Uhr, 21.04.2013

Vielen Dank soweit!

Wenn ich jetzt weitermache und diese Ableitung von

n

in die allgemeine Formel einsetze, kommt folgendes raus:

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1} \cdot \frac{(n - 1)!}{{(x + 2)}^{n}}}{n!}

Jetzt kann ich für

x = - 1

einsetzen oder?

lepton

12:25 Uhr, 21.04.2013

Ja, nicht ganz du hast noch

(x - x_{0})^{n}

vergessen. Außerdem kann man ja noch vor der Auswertung etwas Termkosmetik betreiben, findest du nicht?

goratzi aktiv_icon

12:35 Uhr, 21.04.2013

Ich bin mir nicht sicher, ob ichs so vereinfachen kann:

\frac{(- 1) \cdot \frac{(n - 1)!}{x + 2}}{n!} {(x - x_{0})}^{n}

Kann man mit Fakultät auch noch was kürzen?

lepton

12:41 Uhr, 21.04.2013

Wie kann man

n!

noch darstellen?

goratzi aktiv_icon

13:32 Uhr, 21.04.2013

als

\infty

lepton

13:58 Uhr, 21.04.2013

Wie kommst du auf so etwas? Was hat n! damit zutun? Ich glaube du weisst überhaupt nicht was du hier allgemein tust, kann das sein? Am besten du setzt dich in Ruhe mal hin und gehst ausführlich die Thematiken "Taylorreihe und Fakultät" mal durch.
Übrigens es gilt:

n! = (n - 1)! n

goratzi aktiv_icon

14:05 Uhr, 21.04.2013

Tut mir leid, dass ich mich so dumm anstelle, aber ich würde dieses Beispiel am liebsten gleich lösen.

Ich habe jetzt

n!

im Nenner mit

(n - 1)! n

ersetzt.

Dann lässt sich ja was im Zähler und im Nenner kürzen:

\frac{{(- 1)}^{n + 1}}{{(x + 2)}^{n} \cdot n} \cdot {(x - x_{0})}^{n}

Stimmt das?

Ich weiß schon, um was es hier geht, es ist nur meine erste Rechnung mit dieser Thematik. Habe zuvor noch nie so eine Aufgabe gemacht.

lepton

14:18 Uhr, 21.04.2013

Ja, sieht gut aus. Jetzt kannst du noch auswerten und fertig ist die Taylorreihe.

goratzi aktiv_icon

14:24 Uhr, 21.04.2013

Also setze ich für

x = - 1

ein oder?

\frac{{(- 1)}^{n + 1}}{1^{n} \cdot n} {(- 1 - x_{0})}^{n}

Also geht alles gegen n?

lepton

14:36 Uhr, 21.04.2013

Nein, haut leider nicht hin. Du ersetzt

x

an der Stelle

x_{0}

f^{(n)} (x_{0})

und

(x - x_{0})^{n} = (x + 1)^{n}

.
Taylorreihe hier:

L (x) = - \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n} (x + 1)^{n}

goratzi aktiv_icon

14:43 Uhr, 21.04.2013

Ok, ist also

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{n} {(x + 1)}^{n}

das Ergebnis?

lepton

14:56 Uhr, 21.04.2013

Fast, da ist aber noch ein Minus vor dem Summenzeichen. Habe es ausgeklammert. Was Restglieddarst. von Lagrange angeht, da gilt unter anderem auch die Formel:

R_{n} (x) = \frac{L^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} (x - x_{0})^{(n + 1)}

, wobei

ξ \in (x_{0}, x)

. Ansonsten muss ich jetzt langsam los.

goratzi aktiv_icon

15:00 Uhr, 21.04.2013

Vielen Dank für die Geduld und die ausführlichen Erklärungen! Tut mir leid, dass ich mich so angestellt habe.

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