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Taylorreihe ln(x)

Universität / Fachhochschule

Tags: Taylorreihe

trud23 aktiv_icon

16:10 Uhr, 11.03.2014

Hi

Aufgabe lautet: Entwickeln sie die Taylorreihe von

f (x) = ln (x)

um xo=1

Mir wurde bei einer anderen TaylorAufgabe schon geholfen jedoch habe ich hier wieder ein kleines Problem, dass ich selber nicht finden kann.

1. Ableiten

f' (x) = {(x)}^{- 1}

f'' (x) = (- 1) \cdot {(x)}^{- 2}

f''' (x) = (- 1) \cdot (- 2) \cdot {(x)}^{- 3}

f'''' (x) = (- 1) \cdot (- 2) \cdot (- 3) \cdot {(x)}^{- 4}

2. Struktur erkannt

f^{(n)} (x) = (- 1) \cdot (- 2) \cdot (- 3) \cdot ... . . \cdot (- n + 1) \cdot {(x)}^{- n}

Vereinfachen:

(- 1) \cdot (- 2) \cdot (- 3) \cdot ... . . \cdot (- n + 1) \cdot {(x)}^{- n}

(- 1) \cdot 1 \cdot (- 1) \cdot 2 \cdot (- 1) \cdot 3 \cdot ... ... \cdot (- 1) \cdot (n - 1)

{(- 1)}^{n} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... . . \cdot (n - 1)

{(- 1)}^{n} \cdot (n - 1)!

Somit:

f^{(n)} (x) = {(- 1)}^{n} \cdot (n - 1)! \cdot {(x)}^{- n}

x 0 = 1

fuer

X

einsetzen

f^{(n)} (1) = {(- 1)}^{n} \cdot (n - 1)! \cdot {(1)}^{- n}

f^{(n)} (1) = {(- 1)}^{n} \cdot (n - 1)!

4. In Allgemeine TaylorFormel

\sum \frac{{(- 1)}^{n} \cdot (n - 1)!}{n!} \cdot {(x - 1)}^{n}

Kuerzen:

\sum {(- 1)}^{n} \cdot \frac{{(x - 1)}^{n}}{n}

Laut Formelsammlung und diverser Internet Seiten ist aber das Ergebnis :

\sum {(- 1)}^{n + 1} \cdot \frac{{(x - 1)}^{n}}{n}

oder

\sum {(- 1)}^{n - 1} \cdot \frac{{(x - 1)}^{n}}{n}

Warum fehlt bei uns diese

{(- 1)}^{n \pm 1}

DerDepp aktiv_icon

13:22 Uhr, 12.03.2014

Hossa :-)

Du bist bei der Zusammenfassung der Ableitungen zu einer Formel durcheinander gekommen. Deine Formel lautet:

f^{(n)} (x) = (- 1)^{n} \cdot (n - 1)! \cdot x^{- n}

Schon für

n = 1

stimmt das Vorzeichen nicht, denn:

f ʹ (x) = (- 1)^{1} \cdot 0! \cdot x^{- 1} = - \frac{1}{x}

Richtig müsste es bei dir heißen:

f^{(n)} (x) = (- 1)^{(n + 1)} \cdot (n - 1)! \cdot x^{- n}

Ok?

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