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Taylorreihe vom arcsin bestimmen
Universität / Fachhochschule
Funktionenreihen
Tags: Funktionenreihen, taylorreihen, Taylorreihenentwicklung
 
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Hallo! Ich soll die Taylorreihe der Funktion arcsin:-1,1] bestimmen. Meine Vorgehensweise lautete wie folgt: Ich habe die erste Ableitung der Funktion gebildet und wollte die Binomialreihe zur Ermittlung der Taylorreihe verwenden. Es gibt einen Satz, der besagt, dass eine Potenzreihe (hier: die Binomialreihe) mit einem positiven Konvergenzradius (die Binomialreihe hat Konvergenzradius also eine positiven Konvergenzradius)die Taylorreihe einer Funktion mit dem Entwicklungspunkt a ist. Die erste Ableitung von arcsin ist: . Wenn ich den Satz richtig verstanden habe, erhalte ich also durch die Verwendung der Binomialreihe die Tayorreihe des abgeleiteten arcsin:(-1;1) mit Entwicklungspunkt . Nun zu meinen Fragen: 1. Ich darf (damit der Nenner meiner abgeleiteten Funktion nicht 0 wird) nur vom Berag kleiner 1 einsetzen (so ist auch die Binomialreihe definiert, außerdem hat die Binomialreihe Entwicklungspunkt wie auch arcsin; also sollte ich sie laut dem oben erwähnten Satz verwenden dürfen). Ich erhalte also die Taylorreihe des abgeleiteten arcsin, die jedoch vom OFFENEN Intervall definiert ist. Meine weitere Vorgehensweise wäre jedoch die erhaltene Taylorreihe von arcsin' gliedweise zu integrieren und damit die Taylorreihe von arcsin (nachdem ich gezeigt habe, dass der beim Integrieren erhaltene konstante Summand ist) zu bestimmen. Bei der Verwendung der der Binomialreihe darf ich jedoch nur aus dem offenen Intervall nehmen. Wie weiß ich, dass meine Taylorreihe von arcin dann aber von geht (also auf dem geschlossenen Intervall definiert ist)? Bzw. wie muss ich das berücksichtigen? Denn auch der oben beschriebene Satz wurde nur für eine Funktion eines offenen Intervalls definiert (siehe oben) 2. Wenn ich die Taylorreihe durch die Verwendung der Binomialreihe von arcsin' erhalte, weiß ich dann automatisch, dass ich beim gliedweisen Integrieren auch die Tayorreihe von arcsin bekomme und diese ebenfalls Entwicklungspunkt 0 hat? 3. Unter Verwendung der Binomialreihe habe ich versucht diese auf eine "schönere Form" umzuformen. Dies ist mir jedoch nur unter Verwendung von Doppelfakultäten gelungen. Gibt es auch eine Möglichkeit ohne Doppelfakultäten? Ich bitte um Rückmeldung! Danke schonmal im Voraus! Maria Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Hallo, eine Reihendarstellung ohne Doppelfakultäten findest du in de.wikipedia.org/wiki/Arkussinus_und_Arkuskosinus Gruß ermanus |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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