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Teilbarkeit durch 13
Universität / Fachhochschule
Teilbarkeit
Tags: Teilbarkeit Primfaktor
 
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Um die Teilbarkeit einer natürlichen Zahl zu prüfen, werden im Schulbetrieb nur Regeln für kleine Primzahlen gelehrt. Üblicherweise wird obendrein noch kühn behauptet, für die anderen Primzahlen gäbe es keine Prüfmethode - man müsse das eben ausprobieren. Ich behaupte nun dass die Teilbarkeit durch die Primzahl 13 durch die modifizierte Quersumme eindeutig bestimmbar ist: Die Einerstelle wird mit (-1) multipliziert; Die Zehnerstelle wird mit (+3) multipliziert; Die Hunderterstelle wird mit (+4) multipliziert; Die Tausenderstelle wird mit (+1) multipliziert; Die Zehntausenderstelle wird mit (-3) multipliziert; Die Hunderttausenderstelle wird mit (-4) multipliziert; Die Einmillionstelle wird mit (-1) multipliziert; Die Zehnmillionstelle wird mit (+3) multipliziert; Die Hundertmillionstelle wird mit (+4) multipliziert; Die Milliardenstelle wird mit (+1) multipliziert; Die Zehnmilliardenstelle wird mit (-3) multipliziert; Die Hundertmilliardenstelle wird mit (-4) multipliziert; und alle weiteren Stellen wieder mit dem bisherigen Muster (-1),(+3),(+4),(+1),(-3),(-4), ... und sodann die Produkte der Stellenziffer und ihrem Stellenfaktor addiert. Ist die Summe der gewichteten Stellen durch 13 teilbar (dazu kann das obige Verfahren gegebenenfalls nochmals eingesetzt werden), so ist auch die ursprünglich untersuchte Zahl durch 13 teilbar. In Anbetracht der Tatsache, dass es mir an mathematischen Beweistechniken gebricht, diese Annahme zu verifizieren, bitte ich um Rückmeldung und Hinweis bezüglich der Richtigkeit, Beweisbarkeit und vielleicht auch Literaturverweise zu dem Thema, da ich nicht annehme, soeben das Rad erfunden zu haben. Bei meiner bisherigen Googelei bin ich zwar auf ähnliches gestoßen, jedoch nur erwähnt und nicht bewiesen. Inzwischen habe ich auch Modifikationstabellen für alle zweistelligen Primzahlen entwickelt, aber ich möchte noch eine zweite Meinung, bevor ich einen Algorithmus für mehrstellige Primzahlen ertüftle, der entweder schon längst erfunden oder dessen Unmöglichkeit bereits vor 300 Jahren bewiesen wurde. Vielen Dank für eure Unterstützung |
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Hallo soweit ich sehe sind deine GewichsZahlen richtig, nur hätte ich ihnen jeweils das entgegengesetzte Vorzeichen gegeben. dann sind es jeweils die Reste die die Zehnerpotenzen bei Division durch haben. wobei etwa Rest =Rest ist. Rest oder Rest damit lässt dn Rest usw Rest 3 usw. kannst du daraus einen Beweis basteln? du hast Glück dass nur eine Periodenlänge 6 hat schon bei 7 wird es6 lang, bei sind es . es gibt schon eine Regel, aber wer wollschal schon Zahlen mit ihrer Reihenfolge merken, wenn man ein große Zahl durch dividiert zieht man am einfachsten erstmal eine benachbarte, von der mal weiss, dass sie durch reizbar ist ab und verkleinert sie schrittweise, ich denke ich könnte so schneller die Teilbarkeit Gestellen als du mit deinen 5 zu merkenden Zahlen Multiplikation und Addition. bei der Regel für wird es dann ganz schlimm. dagegen findest du für ne schöne kurze Regel. Gruß ledum |
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Hallo, gewichtete Quersummen (so mein "Titel" dafür), eines meiner Steckenpferdchen... Wie ledum schon erwähnte, würde ich die Vorzeichen gerade tauschen. Prinzip der Sache ist - auch das hat ledum schon erwähnt - die Reste der Zehnerpotenzen modulo 13. Anders als ledum brauche ich mir diese Reste aber nicht zu merken. Es gilt: mod 13 Damit folgen: * mod 13 * mod 13 ... Die Periode erkennt man daran, dass mod 13 gilt. Die Faktoren tauchen bei der schriftlichen Division von als Reste auf (jeweils nur mit positivem Vorzeichen, womit deine Regel auch funktionierte). Prinzip ist auch da immer wieder die Multiplikation mit 10 mit anschließender Restebildung mod 13. Für alle natürlichen Zahlen größer 0 kann man so eine Regel auf diese Weise erarbeiten. Meist sind sie zu unübersichtlich, als dass sie irgend einen Gewinn bringen. Dass nur Periodenlänge 3 hat, war mir auch neu. Dafür bringt diese Regel richtig was. Danke ledum. Vielleicht noch erwähnenswert ist, dass für die Teilbarkeit durch 4 nur die ersten beiden Gewichte ungleich Null sind, was mit der üblichen Teilbarkeitsregel für 4 korrespondiert, nämlich nur die letzten beiden Ziffern als Zahl zu nehmen und zu schauen, ob diese durch 4 teilbar ist. Bei 8 sind nur die ersten drei Gewichte von Null verschieden. Bei der Zahl 7 lauten die Gewichte 1, 3, 4, -1, -3, -4 (mit Wiederholung von da ab). Man muss sich also nur 3 Gewichte wirklich merken. Mithin sind also Zahlen der Art durch 7 teilbar. (Bekommt man auch damit, dass 1001 durch 7 teilbar ist.) So, fehlt noch was? Mir wäre noch lieb, wenn du das "ähnliche", auf das du beim Suchen gestoßen bist, hier zitieren könntest (Link wäre natürlich klasse). Ich glaube, dass ich in diesem Forum schon mal zu diesem Thema was geschrieben habe... Mfg Michael |
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