 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Teilbarkeit im 9-alsystem
Teilbarkeit im 9-alsystem
Universität / Fachhochschule
Algebraische Zahlentheorie
Teilbarkeit
Tags: Teilbarkeit
 
|
  |
|---|
|
Ich weiß, dass die Zahl durch 3 und durch 8 teilbar sein muss. Aber ich habe keine Ahnung, wie man das beweist und vorgeht  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
|
 |
|
Im Zahlensystem zur Basis lässt die Zahl geteilt durch denselben Rest wie die Quersumme von geteilt durch : Im Fall dürfte das bekannt sein, es gilt aber für alle Basen . Damit hat man ein handliches Kriterium für die Teilbarkeit durch 8 im 9er-System zur Verfügung. Und wie man die Teilbarkeit durch 3 im 9er-System einfach prüft, sollte ohnehin klar sein, oder? Es gibt übrigens vier mögliche Lösungszahlen bei (b). P.S.: Ich bin davon ausgegangen, dass die 24 dezimal gemeint ist, d.h., nicht auch schon im 9er-System . ;-) |
 |
|
Genau es geht um im Dezimalsystem. Die Quersumme ist immer 8 und die letzte Zahl muss sein. Aber wie beweist man das |
|
|
|
Zum Nachweis: Über Modulorechnung ergibt sich wegen sofort , das war's schon an Beweis. > Die Quersumme ist immer 8 Womöglich meinst du: Die Zahl ist durch 8 teilbar, wenn ihre 9er-Quersumme durch 8 teilbar ist. Dann schreib das auch so, statt so falsch hingeschludert. Da für die Zahl die 9er-Quersumme 24 vorgegeben wurde, ist die Teilbarkeit von durch 8 automatisch erfüllt. Die Teilbarkeit durch 3 erfordert, dass die letzte Ziffer durch 3 teilbar ist, d.h. , wie von dir richtig geschrieben. |
|
|
|
Es ist klar, dass auch im 9-al-System 0, 8, 88, 888, ... 88888 ... durch 8 Teilbar sind. 8 ist die größtmögliche Ziffer. Zählen wir nun zu obigen Zahlen immer 1 hinzu, so erhalten wir im 9-al-System der Reihe nach 1, 10, 100, 1000, 10000 usw. Daher bleibt bei all diesen Zahlen beim Teilen durch 8 nun immer der Rest 1. Dann bleibt aber beispielsweise bei 5000 = 51000 fünf mal der Rest 1. Feststellung: Trennen wir in der Zahl 36578 die 5 heraus als 36078+500, so lässt die 500 beim Teilen durch 8 den Rest 5. Das selbe geschieht mit den anderen Ziffern, so dass beim Teilen durch 8 zunächst die Quersumme als Rest übrig bleibt. Quersumme von 1234567 ist 28, beim Teilen durch 8 bleibt somit Rest 4. Schreibt man die 28 als 9-al-Zahl, also als 31, und wiederholt das Verfahren, ist die Quersumme davon 4, also auch so ergibt sich Rest 4. Da die Ziffern der 9-al-Zahl 1234567 in alle Positionen mit Ausnahme der letzten alles Vielfache von 9 bzw. als Wert haben, sind alle durch 9 teilbar. Nur die letzte Ziffer bleibt dann als Rest. Da alle Zahlen, die durch 9 teilbar sind, automatisch auch durch 3 teilbar sind, ist die ganze Zahl genau dann durch 3 teilbar, wenn es die letzte Ziffer ist. Fazit: eine Zahl im 9-al-System mit Quersumme 24 (als Dezimalzahl!) ist durch 8 teilbar aber nur genau dann durch 24, wenn die letzte Ziffer durch 3 teilbar ist. |
|
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
|
1581875
1581781