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Teilbarkeitsbeweis (durch 8)

Universität / Fachhochschule

Teilbarkeit

Tags: Teilbarkeit

ker-o aktiv_icon

16:43 Uhr, 16.12.2016

Es ist zu beweisen, dass für alle

n \in ℕ

die natürliche Zahl

5^{n} + 2 \cdot 3^{n - 1} + 1

durch 8 teilbar ist.

Ich habe es zunächst per Induktion versucht, doch langsam zweifel ich daran, dass das funktioniert:

Für n=1 ist die Beh. offensichtlich wahr.

Inuduktionsannahme:

8 ∣ 5^{n} + 2 \cdot 3^{n - 1} + 1

Induktionsschritt:

n \mapsto n + 1

Es gilt:

5^{n + 1} + 2 \cdot 3^{n} + 1 = (5^{n} + 2 \cdot 3^{n - 1} + 1) \cdot (5 + 3 + 1) - (5^{n} \cdot 3 + 5 + 10 \cdot 3^{n - 1} + 2 \cdot 3^{n - 1} + 8)

also

5^{n + 1} + 2 \cdot 3^{n} + 1 = (5^{n} + 2 \cdot 3^{n - 1} + 1) - (3 \cdot 5^{n} + 12 \cdot 3^{n - 1} + 13)

wobei

(5^{n} + 2 \cdot 3^{n - 1} + 1)

nach I.V. durch 8 teilbar ist.

beim übrigen Teil - also

- 3 \cdot 5^{n} - 12 \cdot 3^{n - 1} - 13

könnte ich natürlich wieder mit der Induktionsvoraussetzung etwas raus ziehen, aber gewinnen tut man dadurch einfach nichts.

Wie ich den Beweis ohne Induktion führen kann, ist mir leider noch nicht eingefallen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Atlantik aktiv_icon

17:26 Uhr, 16.12.2016

Vielleicht ist es so beweisbar:

5^{n} + 2 \cdot 3^{n - 1} + 1 = 8

5^{n} + \frac{2}{3} \cdot 3^{n} + 1 = 8 | \cdot 3

3 \cdot 5^{n} + 2 \cdot 3^{n} + 3 = 24

ist durch 8 teilbar

n = 1

n = 2

3 \cdot 5^{2} + 2 \cdot 3^{2} + 3 = 96 = 4 \cdot 24

ist durch 8 teilbar

n = 3

3 \cdot 5^{3} + 2 \cdot 3^{3} + 3 = 432 = 18 \cdot 24

ist durch 8 teilbar

mfG

Atlantik

michaL aktiv_icon

18:13 Uhr, 16.12.2016

Hallo,

n \to n + 1

5^{n + 1} + 2 \cdot 3^{(n - 1) + 1} + 1 = 5 \cdot 5^{n} + 3 \cdot (2 \cdot 3^{n - 1}) + 1 = (4 \cdot 5^{n} + 2 \cdot (2 \cdot 3^{n - 1})) + (5^{n} + 2 \cdot 3^{n - 1} + 1) = 4 \cdot (5^{n} + 3^{n - 1}) + (5^{n} + 2 \cdot 3^{n - 1} + 1)

Der zweite Summand ist durch 8 teilbar gemäß Induktionsvoraussetzung.
Der zweite ist es, weil die 4 als Faktor explizit vorgegeben ist und in der Klammer Potenzen von 3 (ungerade) bzw. 5 (ungerade) addiert werden, was sicher eine gerade Zahl ergibt.

Mfg Michael

ker-o aktiv_icon

19:16 Uhr, 16.12.2016

Erstmal vielen Dank für die schnelle Hilfe!
Der erste Lösungsversuch(Atlantik) bringt mich leider nicht weiter.

zu michaL:
Wie kommst Du (nach dem 2 "=") auf die

4 \cdot 5^{n}

michaL aktiv_icon

19:31 Uhr, 16.12.2016

Hallo,

> Wie kommst Du (nach dem 2 "=") auf die 4⋅

5^n

?

Ich bin unsicher, was du meinst.
Ich habe die Induktionsbehauptung hergenommen, dort jedes

n

durch ein

n + 1

ersetzt.
Dann habe ich alles zurückgeführt auf die Form der Induktionsbehauptung (also mit

5^n

statt

5^{n + 1}

und

3^{n - 1}

statt

3^n

), damit ich die Induktionsvoraussetzung auch verwenden kann.
Ich habe diese dann einmal hinten abgespalten (mehr schien mir nicht drin, da wir nur 1x die "+1" hatten.
Den Rest habe ich nach den üblichen Rechengesetzen zusammengefasst. Und so ist auch die 4 entstanden (sofern ich mich nicht verrechnet habe).

Mfg Michael

ker-o aktiv_icon

22:18 Uhr, 16.12.2016

Du hast völlig recht! Ich war so darauf fixiert, das ganze als Produkt schreiben zu wollen, dass ich dabei vergessen habe, wie einfach es als Summe wäre.

Vielen Dank!

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