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Teilbarkeitsrelation reflexiv und transitiv
Universität / Fachhochschule
Teilbarkeit
Tags: reflexiv, Teilbarkeitsrelation, transitiv
 
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Ich soll zeigen, dass a|b auf den ganzen Zahlen reflexiv und transitiv ist. Ich hätte da einen Ansatz aber so ganz sicher bin ich mir auch wieder nicht. Transitivität: Wenn a teilt b gilt (a|b) und b teilt c gilt (b|c), dann muss auch a teilt c gelten (a|c), da a ein Teiler von b und b ein Teiler von c ist, muss a auch ein Teiler von c sein. Reflexivität: Zu sich selbst also a|a und b|b und die 2. Aufgabe wãre: a*b soll nur dann durch 3 teilbar sein, wenn einer der Faktoren durch 3 teilbar ist. Wie kann man das konkret zeigen? |
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"a*b soll nur dann durch 3 teilbar sein, wenn einer der Faktoren durch 3 teilbar ist" Mit Primfaktorzerlegung kann man es recht einfach zeigen |
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Ich check's immer noch nicht, was genau soll ich da als primfaktorzerlegen? |
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Hallo, es geht auch ganz elementar ohne Kenntnis der Primfaktorzerlegung. Es ist mit ganzem und (Division durch 3 mit Rest), ebenso mit ganzem und . Also . Wenn nun , dann muss gelten. Da , folgt , mithin oder ... Gruß ermanus |
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Ich kann den Rechenweg leider nicht ganz nachvollziehen |
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Wo klemmt es? |
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Bei dem Part mit den Klammern |
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Was bekommst du denn raus, wenn du mit multiplizierst ? |
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9mn + 9nr + 9ms + rs ich hab noch den Hinweis bekommen, dass wenn eine ganze Zahl nicht durch 3 teilbar ist, dann ist sie entweder von der Form 3n + 1 oder 3n + 2. Ich hätte jetzt gedacht, dass man irgendwie die binomische Formel benutzen müsste un d wenn am Ende halt +1 oder +2 stehen würde, dass das dann der Beweis wäre. Aber ich komm einfach nicht darauf |
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Hallo, genau was du sagst hat Eramus doch grade genutzt :-) . |
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Tatsächlich? Mich irritiert dann wohl rs = 0, r = 0, s = 0 was bedeutet das und wie ist man darauf gekommen? |
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Also ich würde jetzt probieren einen Schritt zurück zu gehen um verständnis zu erlangen. Hast du verstanden warum man eine ganze Zahl wenn sie durch 3 teilbar ist. In den drei Formen darstellbar ist ? und wenn ja warum hat eramus seine ersten beiden Zahlen a und so gewählt wie er sie gewählt hat ? |
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Wenn durch 3 teilbar sein soll, dann muss auch durch 3 teilbar sein. Zu der Gestalt von : Das ist dir doch aus der Grundschule (!) bekannt. Wenn man immer wiederholt von den Steinen jeweils 3 wegnimmt, dann bleibt zum Schluss keiner übrig (es geht auf), d.h. der Rest ist 0, oder es bleiben 1 Stein oder 2 Steine übrig. Also ist der Rest entweder 0 oder 1 oder 2 ;-) |
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Ja das ergibt Sinn mit rs, das habe ich noch verstanden. Und zu dem Beitrag von JaBaa, ne leider nicht hat das vielleicht was mit dem Rest zu tun, dass halt kein Rest übrig sein darf, wenn man durch 3 teilen soll? Edit: Alles klar, das hätte ich dann verstanden, aber was hat es mit dem letzten Part auf sich, der den Beweis für die Aufgabe liefert? Ps: sorry für die dummen Fragen, aber ich will's halt wirklich verstehen wollen, sodass ich es auch in der Klausur problemlos anwenden kann. ^^ |
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siehe meine Ergänzung meines vorigen Beitrags. Das ist das,wovon JaBaa spricht. |
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(Korrektur von meiner Aussage oben: "Hast du verstanden warum man eine ganze Zahl wenn sie durch 3 teilbar ist" Müsste eigentlich stehen " Hast du verstanden warum man ein ganze Zahl wenn sie durch 3 geteilt wird") Ja richtig hat mit dem Rest zu tun :-) . Der Rest kann entweder oder 2 sein. Also genau die Form wie oben beschrieben. Wenn der Rest 0 ist dann ist die Zahl durch 3 teilbar. Soweit ist es dir auch klar denke ich. Wenn eramus nun schreibt für die Zahlen a und mit und ebenso mit Dann hat er jeweils für die beiden Zahlen a und die drei Formen von oben aufgezählt. Ist dir dies auch klar ? |
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Die 3 Formen wurden doch gar nicht aufgezählt oder irre mich da Also 3n 3n+1 3n+2 |
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Edit: Alles klar, das hätte ich dann verstanden, aber was hat es mit dem letzten Part auf sich, der den Beweis für die Aufgabe liefert? Ps: sorry für die dummen Fragen, aber ich will's halt wirklich verstehen wollen, sodass ich es auch in der Klausur problemlos anwenden kann. Keine sorge wegen "dummen" Fragen. Für mich gibt es keine dummen Fragen ;-) . Wichtig ist immer zu fragen. Mir zeigt deine Erkenntnis dass ich auf den richtigen Nerv getroffen habe :-) . Jetzt zum Beweis von Eramus. Er schreibt . Jetzt wissen wir doch, dass der erste Teil durch 3 teilbar ist. Nach unseren vorherigen Überlegungen ist eine Zahl durch 3 teilbar, wenn ihr Rest 0 beträgt. Also wenn ist, dann muss teilen. Sind wir uns bis hierhin einig ? |
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Edit: Ja, noch verstehe ich es |
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Doch wurden sie. Weil und jeweils Elemente in sind und damit sind a und genau von den drei aufgezählten Formen. Nehmen wir mit . jetzt setzte für . alles ein dann kommst du auf die drei Formen. |
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Ah, ja daher die Mengen {0,1,2} und die daraus resultierenden 3 verschieden Zusammenstellungen, weil man diese jeweils für r einsetzen muss. Soweit so gut, was macht dann die 4 in der letzten Zeile, ich dachte es gäbe nur 3 Elemente bzw. 3 Formen? |
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Gute Frage ;-) . Welche Zahlen können denn für herauskommen, wenn und liegen ;-) . Und es gibt auch nur drei Formen, aber der Rest kann ja nicht größer sein als der teiler selber, also wenn du durch 3 teilst, dann kann es ja kein Rest 4 geben, trotzdem hat Eramus, der nebenbei viel mehr versteht als ich natürlich alles richtig gemacht, aber dies ist nur eine Randbemerkung. |
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Wenn beide die Elemente {1,2,3} besitzen, muss man dann einfach nur 0*0, 1*1 und 2*2 multiplizieren oder ist das viel zu einfach gedacht? Dann würde es wiederrum Sinn machen, weil 0,1 und 4 rauskommen würde |
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Die drei habe ich korrigiert es ist die Menge jetzt nochmal alles multipliezieren, aber nicht immer nur gleiches mit gleichem. Also du kannst doch auch. rechnen oder usw. Wenn du alle Elemente die eramusin seiner Menge drin hat hast bisdu erst fertig. |
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Ja dann bekommt man die Werte 0,1,2,4 raus, wie es auch oben beim Beispiel steht |
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Also, was hatten wir eben gesagt, wann eine Zahl durch 3 teilbar ist ? |
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Wenn es entweder 0, 1, oder 2 ist also bzgl. dem Rest? |
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ich frage nochmal anders. Wir betrachten die Zahl bei welcher der erste Teil durch 3 teilbar ist. Die gesamte Zahl ist aber nur durch 3 teilbar, wenn auch durch 3 teilbar ist. Jetzt haben wir 4 mögliche zahlen für nähmlich welche dieser Zahlen ist durch 3 teilbar ? Und wenn du diesen Schritt hast. Betrachte die Zahl die du herausgefunden hast. Was folgt daraus für oder ? |
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Also zu deiner ersten Frage, eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Indem Fall trifft das auf 1 und 2 zu. Und da wir vorhin schon geklärt haben, ab wann eine Zahl durch 3 teilbar ist wäre das nun der Beweis? Da sowohl die 1 als auch die 2 mit inbegriffen sind in den Formen. Sprich sowohl r als auch s sind beide durch 3 teilbar |
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Jetzt habe ich dich ganz verwirrt :-) . Nein der letzte Beitrag ist nicht richtig. Teile mal 2 durch 3. kommt dann eine nichtkommazahl heraus ? oder 1 durch 3 dann steht dort auch eine Kommazahl. Also nochmal überlegen. Die Quersumme von 1 ist 1 und die Quersumme von 2 ist damit sind diese beiden nicht durch 3 teilbar. Jetzt nochmal überlegen. Welche der Zahlen ist durch 3 teilbar, also so, dass keine Kommazahl herauskommt ? |
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Edit: Ach stimmt, die 3 ist ja auch ein Teiler von 0. Hab's verwechselt |
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Ja 3 ist ein Teiler von ;-) . Aber nochmal um es ganz deutlich zu sagen: Von den Zahlen ist die 3 nur ein Teiler von 0. Nicht von der 1 und 2 und auch nicht von der 4. Also was solltest du jetzt machen ? |
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Alles klar, ich danke Dir vielmals für das Beispiel und deine Geduld bei so einer einfachen Aufgabe, für die ich Stunden brauch/brauchte :-D) |
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Also du bist nicht fertig ;-) . Es kommen noch etwas. |
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Ich weiß es nicht, damit wurde die Aufgabe doch schon beantwortet oder etwa nicht? 1, 2 und 4 sind nicht durch 3 teilbar |
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Was war den die Frage, was wolltest du denn zeigen, am Anfang ? |
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Ich wollte am Anfang zeigen, dass a*b nur dann durch 3 teilbar sein soll, wenn einer der Faktoren durch 3 teilbar ist. Heißt jetzt also, dass r, s, rs = 0 sind so wie es auch in der letzten Zeile steht? Ne momentmal, wir haben gesagt, wenn 3∣ab, dann muss 3∣rs gelten Egal wie man's umstellt, entweder r oder s wird durch 3 geteilt |
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Genau, steht jetzt da. Daraus folgt oder . Jetzt guckst du nochmal in Eramus ersten Beitrag. Dort steht für deine Anfangszahlen a und und Was musst du jetzt tun ? |
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r und s also 0 jeweils einsetzen in die Gleichungen |
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Nicht ganz richtig. Nur eine der Zahlen oder muss 0 seinnicht beide. Aber gut, jetzt musst du mir nur noch beantworten wann eine zahl durch 3 teilbar ist ? Oder besser gesagt welche Form hat diese Zahl denn, wenn sie durch 3 teilbar ist ? |
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Wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist, aber das hatten wir doch schon? Inwiefern hilft uns das bei den 2 Gleichungen weiter? Die Form 3n |
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Setze mal bei für gleich 0 ein. Ist die zahl die dabei rauskommt durch 3 teilbar ? |
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Ja, weil dann 3 rauskommt und 3 ist mit sich selbst teilbar -> 1 |
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Nein es kommt heraus und weil eine 3 davor steht ist diese Zahl durch 3 teilbar. Und und du wolltest zeigen, dass entweder a oder dürch 3 teilbar ist wenn durch 3 teilbar ist. |
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Ja das m hab ich wohl vergessen, aber ja das ist genau das, was ich am Anfang beweisen sollte! Mega, ich bedanke mich für Ihre Geduld und natürlich auch bei ermanus für die Lösung bzw. das Rechenbeispiel. Kann es nun vielmehr nachvollziehen, was dort eigentlich gemacht wurde. Ich muss es mir allerdings noch ein paar mal anschauen, bis ich es vollkommen verstanden habe, für die Hausaufgabe sollte es jedoch reichen :-) |
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Eine letzte Anmerkung zm Schluss. Es ist wichtig, dass du diesen Beweis verstehst, nicht wegen diesem Beweis ansich, sondern, weil du die ganze Denkweise erlernen musst. Ich will dir auch nicht zu nahe treten, aber ich glaube, du hast auch noch nicht dieses Beweises verstanden. Deswegen erarbeite dir diesen Beweis sehr genau und wenn du alles um diesen Beweis verstanden hast, wirst du kaum glauben, welche Fragen du hier gestellt hast. Also lese dir den ganzen Beweis nochmal Schritt für Schritt durch und führe den Beweis in deinen eigenen Worten selber. Dies ist wichtig für deine eigenen mathematischen Weg |
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Ja da ist wohl was wahres dran. Eine Frage hätte ich aber noch, kann man den Rechenweg auch auf andere Zahlen eins zu eins genau so übertragen wie mit der 3 oder ist es immer verschieden, weil z.B die 4 andere Formen haben könnte? |
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Also ich glaube du hast einen guten Gedankengang, aber deine Frage verstehe ich nicht ganz. Meinst du dass man den selben Beweis auch für 4 (oder andere Zahlen) anstatt für 3 machen kann also so: soll nur dann durch teilbar sein, wenn einer der Faktoren durch teilbar ist. ?? |
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Ja zum Beispiel. Würde es dann komplett falsch sein, wenn man denselben Rechenweg benutzt, halt für die 4? Wahrscheinlich schon, da die 4 dann andere Elemente bzw. Formen besitzt |
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Also, diese Frage kannst du dir ganz leicht für die 4 selber beantworten und selber probieren, ob es klappt, dafür solltest du aber dann den Fall für 3 schaffen und gut verstanden haben ;-) . Ob es für beliebige gilt, müsste eigentlich gelten, vielleicht nicht mehr eindeutig, außer bei Primzahlen ?, vielleicht beantwortet es morgen einer der wirklichen Profis ;-) oder ich probiere mich mal dran den Beweis zu machen .Aber ich bin auch nur im dritten Semester :-) . Damit bin ich jetzt mal raus und ich wünsche dir eine gute Nacht. Viele Grüße |
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Hallo, nehmen wir den Fall . Dann zeigt , dass die Aussage hier nicht gilt. Überlege dir verallgemeinernd, woran das liegt und wie beschaffen sein muss, damit es gilt. Gruß ermanus |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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