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kgV/ ggT/ Linearkombination

Universität / Fachhochschule

Tags: ggT, kgV, Linearkombination

anonymous

15:01 Uhr, 07.05.2011

Hallo,
bei den Aufgaben habe ich Schwierigkeiten:
1. Bestimme alle ganzzahlige Linearkombination von 9 und 15? Was gibt es denn da eigentlich für ein Unterschied zum euklidischen Algorithmus?
2. Man soll beweisen, dass wenn a,b und c (Element aus natürlichen Zahlen) paarweise teilerfremd sind, folgendes gilt:
ggT(a,b,c)*kgV(a,b,c)=a*b*c
3. Man soll an einem Gegenbeispiel zeigen, dass die Aussage bei 3. im Allgemeinen für teilerfremd , aber nicht paarweise teilerfremde a,b,c nicht gilt.
Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Rechnen mit Klammern
Teilbarkeit natürlicher Zahlen

obmal aktiv_icon

23:06 Uhr, 08.05.2011

ohu!

Gerd30.1 aktiv_icon

09:46 Uhr, 09.05.2011

z = 9 \cdot x + 15 \cdot y

mit

x, y, z \in ℤ

2. Wenn

a, b

und

c

paarweise teilerfremd sind, dann gibt es für

a, b

und

c

folgende Darstellungen:

a = Π a_{i}^{α_{i}}; b = Π b_{i}^{β_{i}}; c = Π c_{i}^{γ_{i}}

wobei die

a_{i}, b_{i}

und

c_{i}

verschiedene Primzahlen sind. Dann ist
kgV

(a, b, c) = Π a_{i}^{α_{i}} \cdot Π b_{i}^{β_{i}} \cdot Π c_{i}^{γ_{i}} = a b c

ggT(a,b,c)=1

3. Sei

a = 24; b = 18

und

c = 11,

dann sind

a, b, c

teilerfremd , weil ggT(a,b,c)=1, das
kgV(a,b,c)=792, aber

a \cdot b \cdot c = 4752

anonymous

12:40 Uhr, 09.05.2011

zur 1: Also reicht diese Darstellung schon für die Bearbeitung der Aufgabe aus?
Die 2 kann ich ja nachvollziehen, allerdings ist ja bei der 3 die Bedingung, dass a,b und c NICHT paarweise teilerfremd sind, 11 und 18 ist ja aber teilerfremd,oder?
Danke.

Gerd30.1 aktiv_icon

13:02 Uhr, 09.05.2011

gemeint ist, dass nicht alle Paare teilerfremd sind wie im Beispiel. Wenn alle Paare teilerfremd, dann siehe 2.

anonymous

17:31 Uhr, 09.05.2011

Bei der 1 kann man doch für das z 3 einsetzen, weil es der ggT ist,oder?

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