Teilfolgen konvergenz

Hallo!

Die Aufgabenstellung lautet:

Gegeben sei eine Folge reller Zahlen xn, für welche die drei Teilfolgen x2n+1 und x3n konvergieren. Zeigen Sie, dass auch die ursprüngliche Folge xn konvergiert.

Meiner Meinung nach stimmt diese Aussage nicht. Denn die Teilfolgen müssen nicht nur konvergieren, sie müssen auch gegen den gleichen Grenzwert konvergieren!

Beispiel:

${\displaystyle (\frac{1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+{(-1)}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{\mathrm{n²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{n²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1})}$ sei die Folge xn

Die Teilfolge x2n konvergiert gegen 1

Die Teilfolge x2n+1 konvergiert gegen -1

e Teilfolge x3n konvergiert gegen 1

Also reicht die Kovergenz alleine nicht aus...

Ist dies korrekt?

lg

hmm...

achja stimmt in meinem Fall würde die Teilfolge x3n ja auch zw. -1 und 1 schwanken... da die hochzal ja nicht garantiert pos. bzw negativ ist.

Also wird man doch einen beweis führen können.

lg

PS: ja ich weiß in der angabe stehen nur zwei Teilfolgen, falls du das gemeint hast ;P

"da x2n im Wechsel Gleider der beiden anderen Folgen hat."

meisnt du nicht x3n? x2n wird nicht Glieder von x2n+1 annehmen, denke ich...

"Deren Grenzwerte wären dann beide Häufungspunkte."

Finde ich nachvollziehbar, da wie oben erwähnt eben Glieder aus beiden Folgen angenommen werden und da die Folge konvergiert können sie nur den gleichen Grenzwert haben.

Nur zum Verständnis: Warum spricht du bei den anderen Folgen von Häufungspunkten? Müssten dies nicht auch grenzwerte sein, da die Folge ja konvergiert. HF kann es ja mehrere geben...

Wie müsste man dann weiter agrumentieren? Wenn alle Teilfolgen denselben Grenzwert haben so konvergiert auch die Ausgangsfolge, dies weiß ich. Nur kann ich schon sicherstellen, dass ich alle Teilfogen habe? bzw., dass es nicht noch eine gibt wo der Grenzwert nicht gleich ist?

Unter dem finden einen N kann ich hier mir nicht viel Vorstellen, da es ja ein theoretisches Beispiel handelt....

lg

hi!

Fall1: n gerade

Da das letzte GLied der Folge gerade ist gilt n0=n1:${\displaystyle \forall \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\ge {\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0:|{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}|<\mathrm{ϵ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$, wobei epsilon bel.

Fall2: n ungerade

Da Das letzte Glied der Folge ungerade ist gilt n0=n2:${\displaystyle \forall \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\ge {\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0:|{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}|<\mathrm{ϵ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$, wobei epsilon bel.

Es folt die Konvergenz von xn.

Richtig so? :)

lg