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Teilverhältnisse Vektoren

Schüler Gymnasium,

Tags: Parallelogramm, Teilverhältnisse, transversal

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18:16 Uhr, 09.05.2014

Hallo,

ich bin nun schon seit etwa einer Stunde am Verzweifeln an einer Aufgabe zu Teilverhältnissen:

"Im Parallelogramm ABCD teilt der Prunkt

E

die Seite CD im Verhältnis

1 : 2

und der Punkt

F

die Seite BC im Verhältnis

1 : 3

. Wie teilt der Schnittpunkt

S

die Transversalen AC und EF?" (Siehe Skizze unten)

Mein Ansatz:

Teilstrecken als Linearkombination der ganzen Strecken:
AS

= α \cdot

AC
ES

= β \cdot

EF

AC und EF mit Hilfe der Vektoren AB und CD umschreiben:
AC = AB

+

BC
EF

= \frac{1}{3}

- \frac{3}{4}

BC

AC und EF der Einfachheit halber durch a und

b

ersetzen:
AC

= a + b

= \frac{1}{3} a - \frac{3}{4} b

Gleichung aufstellen, die sowohl

α

als auch

β

enthält:
AS - ES - ED - AD

= 0

Einsetzen (ED

= \frac{2}{3} a

und AD

= b

da Parallelogramm):

α \cdot (a + b) - β \cdot (\frac{1}{3} a - \frac{3}{4} b) - \frac{2}{3} a - b = 0

Klammern auflösen und anschließend nach a und

b

zusammenfassen:

α \cdot a + α \cdot b - β \cdot \frac{1}{3} \cdot a - β \cdot \frac{3}{4} \cdot b - \frac{2}{3} a - b = 0

a \cdot (α - \frac{1}{3} β - \frac{2}{3}) + b \cdot (α - \frac{3}{4} β - 1) = 0

Da Vektor a und

b

linear unabhängig sind, müssen die Faktoren 0 werden:

I

α - \frac{1}{3} β - \frac{2}{3} = 0

α - \frac{3}{4} β - 1 = 0

Gleichungssystem mit Additionsverfahren lösen:
I'

= I -

II
I'

\frac{5}{12} β + \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow β = - \frac{4}{5}

Ich bekomme hier ein negatives

β

heraus (was zudem noch falsch ist, wie eine Skizze vermuten lässt), Alpha wäre dann

α = \frac{2}{5},

was aber auch nicht sein kann.
Könnt ihr mir weiterhelfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Parallelogramms
Flächeninhalte
Quadrat / Rechteck / Parallelogramm

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20:11 Uhr, 09.05.2014

α \cdot (a + b) - β \cdot (\frac{1}{3} \cdot a - \frac{3}{4} \cdot b) - \frac{2}{3} \cdot a - b

=0"

Beim Auflösen der zweiten Klammer ist Dir ein Vorzeichenfehler unterlaufen!

(Vorher sind zwei Fehler in der Notation, die sich aber aufheben:
AS-ES+ED-AD=0 und ED=

- \frac{2}{3} \cdot a

wären richtig.)

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20:42 Uhr, 09.05.2014

Vielen Dank für die Hilfe.

"Vorher sind zwei Fehler in der Notation, die sich aber aufheben:
AS-ES+ED-AD=0 und ED= −23⋅a wären richtig."

Ups, das habe ich falsch von meinen Aufzeichnungen abgeschrieben, es sollte eigentlich AS-ES-DE-AD

= 0

lauten.

"Beim Auflösen der zweiten Klammer ist Dir ein Vorzeichenfehler unterlaufen!"

Oh man, manchmal könnte ich mich selbst in die Tonne treten.

- β \cdot - \frac{3}{4} b

ist natürlich

\frac{3}{4} β \cdot b

Beta ist demnach

β = \frac{4}{13}

und Alpha ist

α = \frac{10}{13}

AC ist geteilt im Verhältnis

10 : 13

und EF ist geteilt im Verhältnis

4 : 13

.

Danke nochmals.

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