Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Tensoren berechnen allgemein/Beispiel?

Tensoren berechnen allgemein/Beispiel?

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Abbildung, Abbildungsmatrix, Basisvektoren, darstellungsmatrix, Lineare Algebra, Tensor, Tensorprodukt

CauchySchwarz aktiv_icon

08:55 Uhr, 12.07.2021

Guten Morgen!
Wir haben in Lineare Algebra II das Tensorprodukt folgendermaßen eingeführt:
,,Sind V und W K-Vektorräume, so Existiert ein K-Vektorraum V

\otimes

W und eine bilineare Abbildung

η

: V x W §\to§ V

\otimes

W, sodass:
ZU allen K-Vektorräumen U und bilinearen Abbildungen

ξ

: V x W

\to

U ex. genau eine lineare Abbildung

ξ \otimes

: V

\otimes

\to

U mit

ξ

ξ \otimes

\circ

η

. "

So weit, so gut.

Leider finde ich im Internet keine "Anleitung", wie ich die entsprechende Darstellungsmatrix von

ξ \otimes

für eine gegebene Abbildung

ξ

explizit berechnen kann.

Beispielsweise, um im endlichen zu bleiben:

a :

ℝ^{2}

ℝ^{2}

\to

ℝ

, a(x,y) =

x^{t}

Jy, J fest gegeben,
z.B.

(\begin{array}{rcl} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array})

Ich kann mir ja die Standardbasisvektoren von

ℝ^{2}

ℝ^{2}

rausschreiben, aber wo setze ich sie ein, um eine Darstellungsmatrix für

ξ

zu erhalten?

Ich freue mich über Rechentipps, Erklärungen, oder auch Links zu guten Webseiten, auf denen dies ausführlich erklärt wird.

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

14:55 Uhr, 12.07.2021

Hallo,
ich hoffe, dass du mit dem folgenden Beispiel etwas anfangen kannst:

Sei

V = ℝ^{2}

und

U = V

.
Dann ist

a : V \times V \to U, (x, y)^{T} \mapsto (x_{1} y_{1} - x_{2} y_{2}, x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1})^{T}

eine bilineare Abbildung.
Ist nun

e_{1}, e_{2}

die Standardbasis von

V

, so kann man für

V \otimes V

die Basis

b_{1} = e_{1} \otimes e_{1}, b_{2} = e_{1} \otimes e_{2}, b_{3} = e_{2} \otimes e_{1}, b_{4} = e_{2} \otimes e_{2}

wählen.
Wir wollen zur linearen Abbildung

a^{\otimes} : V \otimes V \to U = V

die darstellende Matrix bzgl. der Basen

(b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4})

und

(e_{1}, e_{2})

finden, d.h. wir wollen

a^{\otimes} (b_{i}) (i = 1, 2, 3, 4)

bestimmen:
Man bekommt:

a^{\otimes} (b_{1}) = (1, 0)^{T}

a^{\otimes} (b_{2}) = (0, 1)^{T}

a^{\otimes} (b_{3}) = (0, 1)^{T}

a^{\otimes} (b_{4}) = (- 1, 0)^{T}

.

Damit ergibt sich die darstellende Matrix zu

(\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array})

Gruß ermanus

CauchySchwarz aktiv_icon

16:16 Uhr, 13.07.2021

Hallo!

Tatsächlich habe ich das mit deiner Erklärung auf Anhieb verstanden - im Grunde genommen ist es wirklich wie bei jeder beliebigen Abbildungsmatrix. Nur, dass ich mir unter dem Tensorprodukt nicht wirklich was vorstellen kann, aber das ist ein anderes Thema.
Danke für die Antwort!

1539531

1539471

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?