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Tensorrechnung - Doppelpunkt und Einheitstensor

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

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10:27 Uhr, 21.03.2021

Hi Leute,

ich habe große Schwierigkeiten bzgl. Tensorrechnung. Nehmen wir explizit dieses Beispiel:

Es soll

A = [I + S : E_{M}^{- 1}]

berechnet werden, wobei alle Tensoren hier Tensoren 4ter Ordnung sind. I ist der Basistensor

Nun ist

E_{M}

gegeben als

E_{M} = 3 K (\frac{1}{3} δ_{i j} δ_{k l}) + 2 μ (I_{i j k l} - \frac{1}{3} δ_{i j} δ_{k l})

und

S = α (\frac{1}{3} δ_{i j} δ_{k l}) + β (I_{i j k l} - \frac{1}{3} δ_{i j} δ_{k l})

Zuerst habe ich Probleme mit der Darstellung dieser Tensoren mit Hilfe des Kronecker Symbols:
Ich weiß, dass

(I_{2} = δ_{i j} e_{i}

⊗

e_{j})

ist, wobei ⊗ das Dyadische Produkt darstellt
Nun wird aber auch gesagt, dass

(I_{4} = I_{i j k l} e_{i}

⊗

e_{j}

⊗

e_{k}

⊗

e_{l} = \frac{1}{2} (δ_{i k} δ_{j l} + δ_{i l} δ_{j k}) e_{i}

⊗

e_{j}

⊗

e_{k}

⊗

e_{l})

Frage

1) :

Wie kommt man auf diese Formel für

(I_{4})

? Das kann ich nicht Nachvollziehen.
Da I sowohl große als auch kleine Symmetrie zeigt, müsste man doch auch

(I_{4} = δ_{i j} δ_{k l} e_{i}

⊗

e_{j}

⊗

e_{k}

⊗

e_{l})

schreiben können?

Frage

2) :

Wie berechne ich das doppelpunkt Produkt von Tensoren? Ganz generell habe ich das leider nicht verstanden (auch nicht für Tensoren niedrigerer Stufe). Wie würde das mit der oben zu sehenden Schreibweise der Tensoren

S

und

E_{M}

funktionieren?

Frage

3) :

Warum werden die Tensoren

E_{M}

und

S

so dargestellt, wie oben zu sehen? Würde nicht gelten:

(I_{i j k l} - \frac{1}{3} δ_{i j} δ_{k l}) = \frac{2}{3} (I_{i j k l})

?

Und somit hätten beide Tensoren ja nur Ihre Diagonalelemente, welche aus der Summe der Koeffizienten

(3 K + 2 μ

bzw.

α + β)

bestehen?

Viele Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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