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Terme vereinfachen

Universität / Fachhochschule

Tags: Variable isolieren

usmi49 aktiv_icon

00:22 Uhr, 24.07.2024

Hallo und guten Abend,

ich möchte folgender Ausdruck nach y' auflösen:

(x^2*y')/y = y'+1

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

michaL aktiv_icon

02:26 Uhr, 24.07.2024

Hallo,

beantworte: Was stört dich an dem Term am meisten?

Mfg Michael

(Wie in der Schule hier mittlerweile...)

Roman-22

02:33 Uhr, 24.07.2024

>

ich möchte folgender Ausdruck nach

y'

auflösen:
Ja, und was hindert dich daran?
Was hast du denn bisher versucht und wo bist du nicht weiter gekommen? Zeig mal!

Oder handelt es sich um eine Differentialgleichung, die du im Endeffekt lösen möchtest? Dann wird's vermutlich eher ein wenig unangenehm.

KL700 aktiv_icon

06:59 Uhr, 24.07.2024

Ergebnis:

y' = \frac{y}{x^{2} - y}

calc007

08:54 Uhr, 24.07.2024

"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Vermutlich scheitert's doch viel eher an Übung und am Lösungsweg als an der Lösung.

>

Alle Terme mit

y'

auf eine Gleichungs-Seite,

>

alle anderen Terme auf die andere Seite,

> y'

ausklammern...

usmi49 aktiv_icon

14:47 Uhr, 24.07.2024

Hallo KL700,
danke für deine Antwort, ich habe das gleiche gefunden, war mir aber nicht sicher ob es die richtige Lösung ist.

usmi49 aktiv_icon

14:50 Uhr, 24.07.2024

Hallo Michal,
danke für deine Frage.
Nichts stört mich an dem Term, ich habe eine Lösung erarbeitet, war mir aber nicht sicher, ob mein Ergebnis richtig ist.
Nun hat mir Kal700 durch ihre Antwort die Richtigkeit meiner Lösung bestätigt.

usmi49 aktiv_icon

14:56 Uhr, 24.07.2024

Hallo Roman-22
danke für deine Frage.
Ich habe genau das gemacht was calc007 in ihrer Antwort erwähnt hat und bin auf das selbe Ergebnis gekommen wie KL700. Ich war mir nicht sicher, ob mein Ergebnis korretk ist und wollte jetzt im Forum die Bestätigung bekommen.

usmi49 aktiv_icon

15:17 Uhr, 24.07.2024

Hallo calc007
Danke für deine Angaben.
Ich habe folgendes ausgeführt und bin auf das Ergebnis von KL700 gekommen, was mir bestätigt hat, dass meie Lösung korrerkt ist.

\frac{x^{2} y ʹ}{y} = y ʹ + 1

\frac{x^{2} y ʹ}{y} - y ʹ = 1

\frac{x^{2} y ʹ y}{y} - y ʹ = 1

x^{2} y ʹ - y ʹ y = y

y ʹ (x^{2} - y) = y

y ʹ = \frac{y}{x^{2} - y}

usmi49 aktiv_icon

15:21 Uhr, 24.07.2024

Hallo michal,
Hallo Roman-22,
Hallo KL700,
Hallo calc007,

die ursprüngliche Aufgabe war :

x^{2} l n y = y + x

, finde y'

Roman-22

17:16 Uhr, 24.07.2024

>

die ursprüngliche Aufgabe war :

Dann ist leider dein erster Schritt schon falsch, denn für die Ableitung von

x^{2} \cdot ln (y (x))

nach

x

musst du die Produktregel verwenden

\to 2 x \cdot ln y + x^{2} \cdot \frac{y'}{y}

Und wenn du in Zukunft nur überprüft haben möchtest, ob deine Rechnung stimmt, dann solltest du das klar kommunizieren und deine Rechnung auch vorweg posten!

Du kannst übrigens auch mithilfe von Onkel Wolfram deine Rechnung überprüfen:
shorturl.at/BCesq

usmi49 aktiv_icon

22:17 Uhr, 24.07.2024

Hallo Roman-22,

danke für deine Antwort.

Zuerst: entschuldigung für meine unvollständige Anfrage. Ich werde deinem Ratschlag in Zukunft folgen.

Dann: ich hatte genau so gerechnet, mit Anwendung der Produktregel, weil x^2 mal ln(y(x)) ja ein Produktfür die Anwendung der Produktregel ist.

Ich habe dann mein Ergebnis überprüft bei:

www.ableitungsrechner.net/#

und das oben gepostete Ergebnis erhalten.

Weil ich einen Kleinen Zweifel hatte habe ich hier auf dem Forum nachgefragt.

Besten Dank auch für deinen Link zu Onkel Wolfram, ich werde ihn in Zukunft benutzen.

Roman-22

23:29 Uhr, 24.07.2024

>

Ich habe dann mein Ergebnis überprüft bei:

>

www.ableitungsrechner.net/#

>

und das oben gepostete Ergebnis erhalten.

Das verstehe ich nicht so ganz. In deinem eingangs geposteten Term fehlt doch der Summand

2 \cdot x \cdot ln y!

Damit ist die von KL700 so brav gelieferte Umstellung nach

y'

ja auch nicht die im Endeffekt gesuchte Ableitung.

Der Ableitungsrechner, auf den du verweist, dürfte keine Gleichungen implizit differenzieren können. Aber er leitet richtig ab, wenn man alles auf eine Seite bringt, auch wenn er dann nicht mehr nach

y'

explizit auflöst, da er ja nur die Funktion

f (x) := x^{2} \cdot ln (y (x)) - y (x) - x

nach

x

ableitet, mit

y

als nicht näher definierter, unbekannter Funktion.

Was hast du denn eingegeben, sodass du auf den falschen Ausdruck ohne den Summanden

2 x ln y

gekommen bist?

Roman-22

23:42 Uhr, 24.07.2024

Habe eben bemerkt, dass der Ableitungsrechner doch eine Option für implizites Differenzieren bietet.
Er liefert dabei auch das richtige Ergebnis (und bei Bedarf auch den Rechenweg).

Also ist immer noch unklar, wie du das Programm dazu gebracht hast, ein falsches Ergebnis auszuspucken,
Denn wenn ich dich richtig verstanden habe, dann hast du händisch ja korrekt mit Produktregel gerechnet und warst irritiert, weil dir der Ableitungsrechner etwas anderes (falsches) offeriert hat.

usmi49 aktiv_icon

23:53 Uhr, 24.07.2024

ich weiss nicht mehr wo mein Fehler war.

ich habe es nochmal eingegeben und habe

x^2y′/y+2xln(y)=y′+1

erhalten, was ich auch beim rechnen erhalten hatte.

Aber jetzt, beim Auflösen nach y' habe ich

y′=2xyln(y)+y/x2-y

erhalten, statt die Lösung vom Ableitungsrechner

y′=2xyln(y)−y/y−x2

und Onkel Wolfram gibt mir

y′=y-2xyln(y)/x2-y an.

usmi49 aktiv_icon

23:58 Uhr, 24.07.2024

ich weiss nicht warum mein Text so verändert wurde, bei der Vorschau war er noch Korrekt!?

Weiss nicht ob du diesen Text brauchen kannst um zu verstehen was ich meine, sonst schreib ich es nochmal.

usmi49 aktiv_icon

00:05 Uhr, 25.07.2024

ich versuch's nochmal,

ich habe in der Endlösung im Zähler 2xyln(y)+y statt die 2xyln(y)-y vom Ableitungsrechner und Onkel Wolfram gibt im Zähler y-2xylog(y)

Roman-22

01:08 Uhr, 25.07.2024

Wolfram ändert im Zähler UND im Nenner die Vorzeichen im Vergleich zu der Lösung vom Ableitungsrechner. Dadurch ändert sich ja nix

\to \frac{a - b}{c - d} = \frac{b - a}{d - c}

.
Der Ableitungsrechner und Wolfram Alpha sind sich also durchaus einig.

Zu deinem Vorzeichenfehler im Zähler kann man aber, ohne deine Rechnung zu sehen, nicht viel sagen. Wenn du zunächst die Gleichung beidseits mit

y

multiplizierst, erhältst du links den Summanden

2 x \cdot ln y

und wenn du den nach rechts bringst, dann geht das nur mit einer Subtraktion.

Mathematische Terme von irgendwoher mit copy&paste einfügen zu wollen geht meist schief.
Du kannst hier zur Eingabe von mathematischen Ausdrücken einerseits recht bequem den normalen Text-Modus verwenden

\to

www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf
Es empfiehlt sich, bei Ausdrücken wie

2 x y ln . .

. Abstände zwischen den Variablen zu machen, damit das Ganze als Formel und nicht als normaler Fließtext behandelt wird.

Andererseits kannst du aber, wenn es dir angenehmer ist, auch in den LaTeX-Modus schalten, der allerdings nur ein kleines Subset von LaTeX unterstützt

\to

www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_latex_zeichen.pdf.

Auf die Hilfe-PDFs wird auch durch Klick auf den Button (nicht als solcher erkennbar) links oberhalb des Editorfensters verlinkt.

usmi49 aktiv_icon

00:17 Uhr, 26.07.2024

So, ich bin wieder Da,

Ja, um meinen Vorzeichenfehler zu finden, schreibe ich jetzt hier unten meine Rechnung wie ich sie durchgeführt habe:

x^{2} \cdot ln (y (x)) = y + x

\Rightarrow d \frac{x^{2}}{d x} \cdot ln (y (x)) + x^{2} \cdot d \frac{ln (y (x))}{d x} = d \frac{y}{d x} + d \frac{x}{d x}

\Rightarrow 2 x \cdot ln (y (x)) + x^{2} \cdot \frac{1}{y} \cdot d \frac{y}{d x} = y' + 1

\Rightarrow 2 x \cdot ln (y (x)) + x^{2} \cdot (\frac{y'}{y}) = y' + 1

\Rightarrow \frac{x^{2} \cdot y'}{y} - y' = 2 x \cdot ln (y (x))

\Rightarrow \frac{x^{2} \cdot y' \cdot y}{y} - y' \cdot y = 2 x \cdot ln (y (x)) \cdot y + 1 \cdot y

\Rightarrow x^{2} \cdot y' - y' \cdot y = 2 x \cdot ln (y (x)) \cdot y + y

\Rightarrow y' (x^{2} - y) = 2 x \cdot y \cdot ln (y (x)) + y

\Rightarrow y' = \frac{2 x \cdot y \cdot ln (y (x)) + y}{x^{2} - y}

usmi49 aktiv_icon

00:22 Uhr, 26.07.2024

Ups, in der fünften Zeile der Formeln habe ich auf der rechten Seite noch das

+ 1

vergessen.

In der sechsten Zeile ist es wieder da!

Roman-22

01:19 Uhr, 26.07.2024

>

Ups, in der fünften Zeile der Formeln habe ich auf der rechten Seite noch das

+ 1

vergessen.

>

In der sechsten Zeile ist es wieder da!

Ja, aber abgesehen vom zwischenzeitlich verlorenem "

+ 1

" ist in der fünften Zeile auch der Vorzeichenfehler passiert und der wird in der sechsten Zeile leider nicht ausgebessert.

Von der vierten auf die fünfte Zeile kommst du doch, indem du sowohl beidseits

y'

subtrahierst, als auch beidseits

2 x ln y

subtrahierst. Daher muss in der fünften Zeile ein Minus vor den Term

2 x ln y

P . S . :

Du solltest die Schreibweisen

y (x)

und

y

nicht so mischen. Entweder bei

y

und

y'

konsequent immer die Abhängigkeit von

x

angeben, also immer

y (x)

und

y' (x)

schreiben, oder, so wie beim Ableitungsrechner, einmal erklären, dass

y

eine von

x

abhängige Funktion darstellen soll und danach immer die bequemere und auch optisch übersichtlichere, wenn auch formal nicht so schöne, Schreibweise mit

y

und

y'

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03:09 Uhr, 26.07.2024

Danke sehr Roman-22

...und noch mal Ups.

Ich habe wieder ein mal einen Flüchtigkeitsfehler gemacht und jetzt ist es auch klar warum ich

nicht auf das richtige Ergebnis gekommen bin.

Und ja es ist einfacher einmal zu erklären am Anfang, dass y eine von x abhängige Funktion

darstellen soll und ich werde es auch so anwenden in Zukunft.

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