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Textaufgabe Geometrische Folge

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Geometrische Folge, Geometrische Reihe, Geometrische Summenformel

ThePrestige aktiv_icon

18:53 Uhr, 31.10.2015

Guten Abend. Ich stehe momentan vor folgendem Problem:

Eine endliche geometrische Folge besteht aus

10

positiven Gliedern, beginnt mit 1 und endet mit 2. Berechne

s 10

a 1 = 1

= 2

(Bin nicht sicher ob an auch dem letzten Glied einer Folge entspricht. Ist das so?)

Ich habe versucht die obigen Angaben in die beiden Formeln für geometrische Folgen einzusetzen. Ich habe versucht nach

q

und nach

n

aufzulösen, was leider nicht geklappt hat.

Ich hätte gerne einen Lösungsweg. Die Lösung an sich lautet:

s 10 = 14.49

Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Werner-Salomon aktiv_icon

19:04 Uhr, 31.10.2015

Hallo,

Allgemein gilt:

a_{n}

ist das

n

te Glied einer Folge.
Eine geometrische Folge ist definiert durch

a_{n + 1} = q \cdot a_{n}

bzw.

a_{n} = q^{n - 1} \cdot a_{1}

Wenn

a_{1} = 1

und

a_{10} = 2

ist, ist folglich

a_{10} = q^{9} \cdot a_{1}

bzw.:

2 = q^{9} \cdot 1

Weißt Du wie man daraus

q

berechnet? und was ist

s_{10}

ThePrestige aktiv_icon

19:16 Uhr, 31.10.2015

q

berechnet man hier in dem man die 9te Wurzel aus 2 zieht, richtig? Das heisst also

q = 2^{\frac{1}{9}}

s 10

steht für die Summenfolge aus

a 1 + a 2 + a 3 + . .

+ a 10

Wenn ich nun die Angaben in die Formel für die geometrische Summenfolge einsetze, erhalte ich aber

- 0.537,

was dem Resultat von

14.49

wiederspricht. Was habe ich falsch gemacht?

Werner-Salomon aktiv_icon

19:40 Uhr, 31.10.2015

Wahrscheinlich hast Du eine Gleichung benutzt, bei der die Reihe beim Index 0 beginnt.

Für Index=1 basierte geometrische Reihen sollte gelten

s_{n} = a_{1} \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}

also hier:

s_{10} = a_{1} \cdot \frac{2^{\frac{10}{9}} - 1}{2^{\frac{1}{9}} - 1} \approx 14.49

Überprüfe Deine Gleichung einfach für

n = 1

, dann sollte ja 1 heraus kommen.

Gruß
Werner

ThePrestige aktiv_icon

19:53 Uhr, 31.10.2015

Ich habe die gleiche Formel verwendet. Wie kommst du auf

2^{\frac{10}{9}}

?
Beim Einsetzen sieht es bei mir aber so aus:

s 10 = 1 \cdot \frac{2^{{(\frac{1}{9})}^{10}} - 1}{2^{\frac{1}{9}} - 1}

weil ja

a 1 = 1

q = 2^{\frac{1}{9}}

n = 10

ThePrestige aktiv_icon

20:05 Uhr, 31.10.2015

Ich habe den Fehler nun selbst bemerkt. Ich habe nur

{(\frac{1}{9})}^{10}

gerechnet und dann mit 2 multipliziert, anstatt

2^{\frac{1}{9}}

hoch

10

zu rechnen!

die

\frac{10}{9}

hast du mit dem

V -

Potenzgesetz errechnet, wenn ich mich nicht täusche. Stimmt oder?

Lieber Werner! Vielen Dank für deine großzügige Hilfe! Einen schönen Abend und bis auf bald!

Werner-Salomon aktiv_icon

20:45 Uhr, 31.10.2015

Hallo ThePrestige,

Danke für Dein Feedback.

Ich denke hier zeigen sich wieder mal wieder die Probleme, die man hat, wenn man sich blind auf den Taschenrechner verlässt.
Oben im Zähler steht doch

q^{n} - 1 = {(2^{\frac{1}{9}})}^{10} - 1

und Du weißt doch aus der obigen Rechnung, dass natürlich

{(2^{\frac{1}{9}})}^{9} = 2

sein muss.

{(2^{\frac{1}{9}})}^{10}

ist nur etwas größer als

{(2^{\frac{1}{9}})}^{9} = 2

, also muss der Zähler eine Zahl ergeben, die etwas größer als 1 ist.

Ganz ohne Taschenrechner - ohne großes Rumrechnen - nur durch Vergleich der einzelnen Terme sollte das klar sein.
Ich habe schon erlebt, das jemand glaubt, dass

15 + 13 = 1059

ist, nur weil sein Taschenrechner das anzeigt - er hatte vergessen vor der Rechnung 'Clear' zu drücken.

Man kann es gar nicht oft genug sagen: prüft auch die Zwischenergebnisse auf Sinnhaftigkeit. Und natürlich muss für

s_{10}

eine positive Zahl heraus kommen - d.h. Zähler und Nenner im Bruch der Summenformel müssen das selbe Vorzeichen haben. Und natürlich kommt irgendeine Zahl heraus, die zwischen 10 und 20 liegt (bei 10 Zahlen zwischen 1 und 2) - ganz ohne Lösungsheft!

-> Taschenrechner aus - Hirn ein!
In diesem Sinne, Gruß
Werner

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