Totales Differential

Hallo,

die Lösung ist leider falsch. ${\displaystyle \mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$ ist nicht gleich ${\displaystyle \mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)+\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ und bei der Ableitung von ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\frac{1}{2}}}$ hast Du integriert statt abgeleitet. Die Ableitung von ${\displaystyle \mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$ mußt Du mit der Kettenregel machen.

Gruß Yokozuna

Zu a) links steht bei Dir eine +1 drin. Ich weiß nicht wo die herkommt. Aber selbst wenn ich mit dieser falschen +1 rechne, kriege ich etwas anderes raus:

${\displaystyle \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=(\frac{1}{2+1}+1\cdot \frac{1}{2\cdot \sqrt{2}})\cdot 0,1+(\frac{1}{2+1}+2\cdot 1\cdot \sqrt{2})\cdot 0,2=}$

${\displaystyle =0,686886724\cdot 0,1+3,161760458\cdot 0,2=0,701040764}$

Aber zu diesem Wert muß man noch den Funktionswert an der Stelle ${\displaystyle (2,1)}$ addieren, denn die lineare Näherung ist ja eine Taylorentwicklung, die nach den Termen 1. Grades abgebrochen wurde. Die lineare Näherung ist:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\approx \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0,{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0)+\frac{\partial }{\partial \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0,{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0)\cdot (\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0)+\frac{\partial }{\partial \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0,{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0)\cdot (\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0)}$

Zu b) Wir haben ja in a) eine Näherung für den Funktionswert von f im Punkt ${\displaystyle (2.1,1.2)}$ berechnet. Um den relativen Fehler zu berechnen,. muß man diesen Wert mit dem Funktionswert im Punkt ${\displaystyle (2.1,1.2)}$ vergleichen und nicht mit dem Funktionswert in ${\displaystyle (2,1)}$.

Zu c) Steht in a) praktisch schon da. Die Tangentialebene ist die lineare Näherung.

Gruß Yokozuna

Das Ergebnis von a) ist richtig. Bei b) hast Du vergessen 1,2 zu quadrieren. Bei der Berechnung des relativen Fehlers teilt man üblicherweise durch den exakten Funktionswert und nicht durch den Funktionswert der linearen Näherung.