Totales Differential von v

Hallo ihr Lieben,

habe mich lange nicht gemeldet, weil Mathe 2 bisher recht gut lief. Nun nähert es sich den Klausuren und ich kapier einfach nicht wie die Berechnung mit dem totalen Differential funktioniert. Wenn ich es richtig verstanden habe ist das totale Differential die Summe der einzelnen Partiellen Ableitungen mit ner kleinen Veränderung. Ist das korrekt? Ansonsten bitte ich um korrektur und genaue Erklärung des totalen Differentials. Unser Prof war so gütig, es nicht einmal in der Vorlesung anzusprechen und im Skript finde ich nichts dazu.

Es geht um folgende Aufgabe:

Gegeben ist das Vektorfeld ${\displaystyle \stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}:{\mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3\to {\mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3,\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1,{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2,{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3)\to \stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$, wobei ${\displaystyle \stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=({\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1,{\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2,{\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3)\in {\mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}$ fest gegeben ist. Es handelt sich hierbei um eine reine Drehung um die Achse ${\displaystyle \stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$.

a) Berechnen Sie das totale Differential von ${\displaystyle \stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$.

Bemerkung: Das Richtungsfeld des Vektorfeldes ${\displaystyle \stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ in der x-y-Ebene ist ${\displaystyle \stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=(0,0,1)}$.

Mein Lösungsansatz war bisher:

${\displaystyle \stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{ccc}{\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2*{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3& -& {\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3*{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2\\ {\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3*{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1& -& {\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1*{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3\\ {\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1*{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2& -& {\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2*{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\end{array}\right)}$

Mehr als das Kreuzprodukt habe ich nicht hinbekommen und in der Musterlösung steht folgende Matrix: ${\displaystyle \mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=(\frac{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}_1},\frac{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}_2},\frac{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}_3})=\left(\begin{array}{ccc}0& -{\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3& {\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2\\ {\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3& 0& {\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\\ {-\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2& {\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1& 0\end{array}\right)}$

Ich verstehe einfach nicht wie man von der Aufgabenstellung zu dieser Matrix kommt, ich denke das totale differential ist eine Summe?!

Ich hoffe mir kann jemand helfen...

Alles klar, jetzt hab ich es verstanden und weiß auch wie die Lösung zustande kommt. Dankeschön :)

Aber eine weitere Frage habe ich noch die sich auf diese Aufgabe bezeiht und zwar ist Aufgabe b) berechnen Sie die Divergenz von ${\displaystyle \stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Wenn ich dies nun mache kommt:${\displaystyle \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=0+0+0=0}$

stimmt auch mit der Lösung überein aber in der Lösung steht:

${\displaystyle \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)=0+0+0=0}$

Was hat es mit der Spur auf sich?

Also würde es vollkommen ausreichen anstatt die divergenz zu berechnen, einfach nur die Summe der Hauptdiagonalen zu bilden?

Na Super, anders interpretiert ist also die Spur genauso die Summe der Hauptiagonalen...das erpsart viel Zeit bei schweren oder umfangreicheren Matrizen bzw Jacobi-Matrizen.

Dankeschön und wünsche ein schönes We!