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Totales Differenzial

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

DasO89 aktiv_icon

22:56 Uhr, 05.09.2017

Wir haben den Term

z = f (x, y) = x^{5} + 2 x^{3} y^{2} + 2 y^{5}

bei dem wir das Totale Differenzial berechnen sollen. Das wiederum bereitet mir keine probleme vielmehr beschäftigt mich die frage: ab wann man über die normale Ableitung hinaus geht? also gemeint ist Bsp: Zxy

DerDepp aktiv_icon

13:29 Uhr, 06.09.2017

Hossa :-)

Was meinst du denn mit "ab wann man über die normale Ableitung hinaus geht"? Das totale Differential einer Funktion

f (x, y)

ist eigentlich eine sehr physikalische Geschichte. Bei seiner Bestimmung geht man davon aus, dass die Variablen

x

und

y

ihrerseits Funktionen sind, die sich mit der Zeit

t

ändern, d.h.

x = x (t)

und

y = y (t)

.

In deinem Fall ist

f (x, y) = x^{5} + 2 x^{3} y^{2} + 2 y^{5}

gegeben. Über die Zeitabhängigkeit der Variablen

x

und

y

ist nichts bekannt. Sie könnten z.B. in der Zeit

T

einen Kreis mit Radius

r

beschreiben. Dann wäre:

x = x (t) = r \cos (\frac{2 π}{T} t); y = y (t) = r \sin (\frac{2 π}{T} t)

Damit könntest du deine Funktion

f (x, y)

so umschreiben, dass sie nur von der Zeit

t

abhängt:

f (t) = f (x (t), y (t)) = r^{5} \cos^{5} (\frac{2 π}{T} t) + 2 r^{5} \cos^{3} (\frac{2 π}{T} t) \sin^{2} (\frac{2 π}{T} t) + 2 r^{5} \sin^{5} (\frac{2 π}{T} t)

In dieser Darstellung könntest du

f (t)

"normal" nach einer Variablen, nämlich nach der Zeit

t

ableiten. Dummerweise können solche Zeitabhängigkeiten recht kompliziert sein, weshalb man die Variablen

x = x (t)

und

y = y (t)

sehr oft und gerne weiter verwendet. Zur Bildung der Zeit-Ableitung braucht man dann jedoch die Kettenregel:

\frac{d f}{d t} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t}

Darin tauchen die partiellen Ableitungen von

f

nach den beiden Variablen

x

und

y

auf, sowie die "normale" Ableitung der Variablen

x

und

y

nach der Zeit

t

.

Das "totale Differential" ist nochmal ein bisschen allgemeiner. Da die Zeitabhängigkeit der Variablen

x

und

y

ja auch durch eine andere Größe beschrieben werden kann, die dann ihrerseits von der Zeit

t

abhängt. Im Kreis-Beispiel von oben könnte etwa auch der Winkel

φ

für das totale Differential herangezogen werden:

x = x (φ) = r \cos φ; y = y (φ) = r \sin φ; φ = \frac{2 π}{T} t

und man würde dann nicht nach

t

, sondern nach

φ

ableiten:

\frac{d f}{d φ} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d φ} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d φ}

Deswegen schreibt man das totale Differential allgemeiner so:

d f = \frac{\partial f}{\partial x} d x + \frac{\partial f}{\partial y} d y

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