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Trägheitsmoment Scheibe mit Loch

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Sonstiges

Tags: Dynamik, Sonstiges

chillern1 aktiv_icon

09:57 Uhr, 28.05.2014

Halloo!!

Also ich habe hier eine Aufgabe

(s

. Anhang). Leider keine Ahnung wie das gehen soll.

Habe ein bisschen was rausgesucht(Trägheitsmoment einer dünnen Kreisscheibe):

J_{x} = J_{y} = m \cdot \frac{r^{2}}{4}; J_{z} = m \cdot \frac{r^{2}}{2}

(erstmal aus Formelsammlung rausgesucht)

Die Formeln sind vom Schwerpunkt der Scheibe beschrieben.

Meine Idee ist, dass man am Ende, wenn man beide Trägheitsmomente, vom Berührpunkt eventuell??, berechnet hat, dass man dann das "Loch" von dem der Scheibe abziehen muss. Leider hab ich echt Probleme mit Steiner.

Hier weitere Ideen:

1)

Volumen einer Kreisscheibe raussuchen:

V = π \cdot r^{2} \cdot

dm ???

2)

= ρ \cdot V ...

. Aber das macht irgendwie alles keinen Sinn, da nicht mal ein

ρ

gegeben ist.

3)

Schwerpunkt bestimmen

usw...

Ich weiß das ist nicht viel, aber mehr fällt mir nicht ein. Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

12:48 Uhr, 28.05.2014

Hallo
Eine Formelsammlung ist gut! Das Verständnis der Formelsammlung ist noch besser!
Also, gehen wir doch systematisch vor.

a)

Aus deinen Ausführungen wage ich hoffen zu dürfen, dass du den ersten Teil der Fragestellung "Bestimmen Sie die Lage des Schwerpunktes S" schon lösen konntest.

Wenden wir uns deshalb dem Massenträgheitsmoment zu.

b)

Stellen wir uns doch mal die gesamte (große) Kreisscheibe mit Radius

r_{2}

ausgefüllt vor.
Wie groß ist denn deren Massenträgheitsmoment?
Da du ja die Formelsammlung hast, sollte das ja kein Problem sein.

c)

Jetzt trennen wir gedanklich die große Kreisscheibe mit einem Laserstrahl in zwei Teile gemäß deiner Skizze, also in eine kleine Kreisscheibe mit Radius

r_{1},

sowie in einen mondförmigen Teil.
Wir sind uns sicherlich einig, dass der letztere mondförmige Teil derjenige ist, der in der Aufgabenstellung beschrieben ist.

d)

Du kannst dir sicherlich auch leicht vorstellen, dass solange beide Teile beieinander sind, diese das gleiche Massenträgheitsmoment besitzen, wie die große Kreisscheibe aus

a)

.
Also:
I_große Kreisscheibe = I_kleine Kreisscheibe

+

I_mondförmiges Teil

e)

Wie groß ist denn das Massenträgheitsmoment der kleinen Kreisscheibe bezüglich ihrem eigenen Schwerpunkt, also bezüglich dem Kreismittelpunkt des Kreises

r_{1}

?
Da du ja die Formelsammlung hast, sollte das ja kein Problem sein.

f)

Wie groß ist denn das Massenträgheitsmoment der kleinen Kreisscheibe bezüglich dem Mittelpunkt

O,

also bezüglich dem Kreismittelpunkt des Kreises

r_{2}

?
Jetzt musst du tatsächlich den Steiner-Anteil berücksichtigen.
Das ist aber nicht schwer. Du hast ja eine Formelsammlung.
Die zugehörige Formel hast du hier zwar noch nicht aufgeführt. Aber das kannst du ja leicht hier nachholen.

g)

Na, aus dem oben gesagten sollte es jetzt nicht mehr schwer sein, das gesuchte Massenträgheitsmoment des mondförmigen Teils bezüglich

O

zu errechnen.
Was kriegst du raus?

h)

Und aus dem kannst du wieder leicht das Massenträgheitsmoment des mondförmigen Teils bezüglich

S

errechnen.
Tip: wiederum einfach Steiner-Anteil berücksichtigen.
Achtung: Steiner-Anteil addieren oder subtrahieren?

Das solls einstweilen an Tips sein. Jetzt hast du es sicherlich nicht mehr schwer...
Lass uns wissen, wie deine Antworten lauten.
Viel Spaß!

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16:56 Uhr, 28.05.2014

Danke schonmal. Ich werde mich morgen ran setzen, also nicht wundern, wird auf jeden Fall nicht liegen gelassen!!!:-)

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14:25 Uhr, 02.06.2014

Sooo... Habe nun ein bisschen schon geschafft.

1) m = ρ \cdot V

m_{1} = - ρ \cdot d \cdot π \cdot r_{1}^{2}

m_{2} = ρ \cdot d \cdot π \cdot r_{2}^{2}

\sum m_{i} = ρ \cdot d \cdot π \cdot (r_{2}^{2} - r_{1}^{2})

\frac{m_{1}}{m_{2}} = - \frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}} \to m_{1} = - \frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}} \cdot m_{2}

2)

FS:

J_{2}^{(O)} = \frac{1}{2} m_{2} \cdot r_{2}^{2}; J_{1}^{(O)} = \frac{1}{2} m_{1} \cdot r_{1}^{2} + m_{1} {(r_{2} - r_{1})}^{2}

|Der hintere Teil dachte ich ergbit sich so, weil das dann noch der Steineranteil bis zum Punkt

O

ist. Bin mir aber nicht sicher!

J_ges^((O))

= J_{1}^{(O)}

+J_2^(OO)

J_ges^((S)) = J_ges^((O))

- m \cdot a^{2} | a =

Abstand von

O

S!

Aber ich muss vorher den Schwerpunkt bestimmen. Und da habe ich mal wieder Probleme. Klar ist, dass

y_{s}

bei dem gegeben Koordinatensystem

= 0

ist...aber irgendiwe kriege ich die

x_{S}

-Koordinate nicht hin.

x_{S} = \frac{\sum m_{i} \cdot x_{S}}{\sum m_{i}}

Aber dafür brauch ich ja x_S...bitte um weitere Hilfe!

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14:43 Uhr, 02.06.2014

Nochmal zum Schwerpunkt:

Habe hier noch ein bisschen gerechnet. Ich hoffe es steigt jemand durch... Bin ich richtig und kann es bloß nicht richtig umformen?

anonymous

21:17 Uhr, 02.06.2014

Zum Beitrag von

14 : 43 h

("Schwerpunkt").
Es ist wirklich schwer durchzusteigen, weil du nicht sehr übersichtlich und erklärend schreibst.
Aber ich darf dir Hoffnung machen.
Wenn ich die letzte Zeile deines Aufschriebs richtig interpretiere, dann entspricht dies genau der Lösungs-Schwerpunkt-Koordinate.
Ein bisschen vereinfachen noch, und du bist so weit am Ziel...

chillern1 aktiv_icon

14:50 Uhr, 06.06.2014

Hey. Wie kann ich denn den Ausdruck

x_{s} = \frac{r_{1}^{3} - r_{1}^{2} \cdot r_{2}}{r_{2}^{2} \cdot (1 - \frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}})}

x_{s} = - \frac{r_{1}^{2}}{r_{1} + r_{2}}

vereinfachen? Das übersteigt irgendwie mein Vorstellungsvermögen

anonymous

15:36 Uhr, 06.06.2014

um weniger Schreibarbeit in diesem SCH... formeleditor zu haben, gestatte folgende Substitution:
r_1 = p
r_2 = b

(r_1^3 - r_1^2*r_2)/(r_2^2*(1-(r_1^2)/(r_2^2)))
=(p^3 - p^2*b)/(b^2*(1-(p^2)/(b^2)))
=p^2*(p - b)/(b^2-p^2)
=-p^2*(b-p)/((b+p)*(b-p))
=-p^2/(b+p)
=-(r_1^2)/(r_1 + r_2)

Stephan4

16:01 Uhr, 06.06.2014

r_{1} = p

r_{2} = b

\frac{r_{1}^{3} - r_{1}^{2} \cdot r_{2}}{r_{2}^{2} \cdot (1 - \frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}})} = \frac{p^{3} - p^{2} \cdot b}{b^{2} \cdot (1 - \frac{p^{2}}{b^{2}})} = p^{2} \cdot \frac{p - b}{b^{2} - p^{2}}

= - p^{2} \cdot \frac{b - p}{(b + p) \cdot (b - p)} = - \frac{p^{2}}{b + p} = - \frac{r_{1}^{2}}{r_{1} + r_{2}}

Ich bin im Text-Modus, kopiere Deine Formel rein, verschönere sie ein wenig, fertig (ohne zu wissen, um was es geht). Kleine Zwischenfrage, Cositan: Warum geht das bei dir nicht?

anonymous

18:07 Uhr, 07.06.2014

Oh, ja, danke Stephan. Ich habe nochmals nachgeschaut, und ahne, dass ich im Antwort-Modus zwischen 'Formeleditor, Text-Modus, Experten-Modus' wählen kann. Bewusst habe ich die Moden noch nie ausgewählt. Und jetzt auf spontanes Suchen auch noch keine befriedigende Hilfe oder Erklärung dazu gefunden. Ich werde wohl ein wenig bei meinem Vor-Urteil bleiben, dass das einfach ein SCH...editor ist.
Aber danke, du hast es sehr schön dargestellt, so wie ich es darstellen wollte.

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19:24 Uhr, 07.06.2014

Super danke:-) hat sich nun alles geklärt!

chillern1 aktiv_icon

09:16 Uhr, 08.06.2014

Obwohol eine Kleinigkeit hätte ich noch:

J_{z}^{O} = \frac{1}{2} m_{2} \cdot r_{2}^{2} + \frac{1}{2} m_{1} \cdot r_{1}^{2} + m_{1} \cdot r_{1}^{2} + m_{1} {(r_{2} - r_{1})}^{2}

m = m_{2} + m_{1}

> m_{1} = \frac{m}{1 - \frac{r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}}}

> m_{2} = \frac{m}{1 - \frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}}

Ich erlaube mir jetzt auch die Substitution für

r_{2} = b

und

r_{1} = p

J_{z}^{O} = \frac{1}{2} m \cdot (\frac{b^{2}}{1 - \frac{p^{2}}{b^{2}}} + \frac{5 p^{2} + 2 b^{2} - 4 b \cdot p}{1 - \frac{b^{2}}{p^{2}}})

Habe das versucht schon etwas zu vereinfachen, vllt habe ich da schon einen Fehler ausversehen eingebaut.

Rauskommen soll:

J_{z}^{O} = \frac{1}{2} m (r_{2}^{2} + r_{1}^{2} \cdot \frac{3 r_{1} - r_{2}}{r_{1} + r_{2}})

Diese Umformung kriege ich irgendwie auch nicht hin....

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