Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Trägheitsmoment bei inhomogener Dichte

Trägheitsmoment bei inhomogener Dichte

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

lazur2006 aktiv_icon

14:23 Uhr, 03.12.2017

Hallo Zusammen,

hänge gerade an einer Aufgabe und weiß nicht wie ich anfangen soll.
Verlangt ist das Massenträgheitsmoment bei inhomogener Dichte.

Dabei gilt

J = \int ρ (r, φ, h) \cdot r \cdot d V = \int \int \int ρ (r, φ, h) \cdot r^{2} \cdot d r d φ d h

mit

ρ (r, φ, h) = \frac{1}{r^{2}}

Ich verstehe schon nicht so ganz, wie die Funktion von

ρ

bei dieser Gestalt eine Dichte liefern kann. Von daher passt nach der Integration natürlich auch immer noch nicht die Einheit.
Vielleicht kann mir einer von euch dabei helfen.

Vielen Dank und Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

anonymous

15:24 Uhr, 03.12.2017

Hallo

1)

Hast du richtig aufgeschrieben und abgeschrieben?
Für Massenträgheitsmomente gilt grundsätzlich:

J = r^{2} \cdot m = r^{2} \cdot ρ \cdot V

Folglich:

J = \int ρ (r, φ, h)

*r^2*dV

= \int \int \int ρ \cdot r^{3} \cdot

dr*dphi*dh

2)

In der Mathematik werden die Einheiten oft vernachlässigt.
Man spricht einfach von Längeneinheiten, Zeiteinheiten, Masseneinheiten, Dichteneinheiten, Massenträgheitsmomentseinheiten

o

.ä....

Das scheint auch bei dieser Aufgabe der Fall zu sein, wenn

ρ = \frac{1}{r^{2}}

Da hat sich keiner wirklich Gedanken über die Einheiten gemacht.
Da denkt man sich einfach Dichteeinheiten dabei.

Wenn man das physikalisch exakt, also unter Beachtung der Einheiten berechnen wollte, dann macht das erst Sinn, wenn man sowohl

>

der Dichte

>

als auch den Radien

>

als auch der Konstante
passende Einheiten gäbe.

Z . B

. täte es Sinn, wenn man festlegte:

ρ (r, φ, h) = \frac{1}{r^{2}}

kg/m
oder

ρ (r, φ, h) = \frac{1}{r^{2}}

to/m
oder

ρ (r, φ, h) = \frac{1}{r^{2}}

kg/mm
oder

ρ (r, φ, h) = \frac{1}{r^{2}}

kg/m

Wenn wir jetzt zu Ende rechneten,
und das Beispiel

ρ (r, φ, h) = \frac{1}{r^{2}}

to/m
unter dem Radius

r = 2 m

untersuchten, dann käme dort die Dichte

ρ (r, φ, h) = \frac{1}{r^{2}}

to/m

= \frac{1}{{(2 m)}^{2}}

to/m

= 0.25

to/m^3
heraus.
Und das ist eben eine sinnvolle Größe mit sinnigen Einheiten für eine Dichte.

lazur2006 aktiv_icon

16:52 Uhr, 03.12.2017

Super! Danke für deine präzise Antwort!

Exakt lautet die Aufgabe wie folgt.

Der Hohl-Zylinder habe die Maße
Innenradius =

R_{1}

Außenradius =

R_{2}

Höhe =

l

Berechnen Sie J für die Dichteverteilung

ρ (r, φ, h) = \frac{1}{r^{2}}

Mein Vorgehen wäre also dieses hier.

J = \int_{0}^{l} \int_{0}^{2 π} \int_{R_{1}}^{R_{2}} r^{3} \cdot \frac{1}{r^{2}} d r d φ d h = \int_{0}^{l} \int_{0}^{2 π} \int_{R_{1}}^{R_{2}} r \cdot d r d φ d h = (\frac{R_{2}^{2}}{2} - \frac{R_{1}^{2}}{2}) \cdot 2 π \cdot h = (R_{2}^{2} - R_{1}^{2}) \cdot π \cdot h

Wäre das so korrekt?

anonymous

18:44 Uhr, 03.12.2017

Streng formal verwechselst du am Ende die Bezeichner

' l'

und

' h'

.
Aber prinzipiell sehr gut!

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1403076

1402977

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?