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Trägheittensor

Universität / Fachhochschule

Tags: Beispiel, Koortinatensystem, Trägheit, Trägheitssensor

ChuckStaaberche aktiv_icon

23:03 Uhr, 08.11.2015

Hallo ich brauche dringend ein Beispiel für Trägheitstensor, ausgehend von einem Körper

(z . B

. Quader, Pyramide...), der in ein Koordinatensystem gesetzt wird, um so den Trägheitstensor aufzustellen. Anschließend würde ich gerne von dem gleichen Tensor noch Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen, um Hauptträgheitsachsen zu bestimmen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

DerDepp aktiv_icon

14:54 Uhr, 09.11.2015

Hossa :-)

Das Trägheitsmoment

J_{ω}

um eine Rotationsachse

\vec{ω}

ist definiert als:

J_{ω} = \int_{V} ρ (\vec{r}) \cdot {\vec{r}}_{⊥}^{2} d V

Der Ortsvektor

\vec{r}

tastet bei der Integration das gesamte Volumen

V

des Körpers ab und findet dort die Dichte

ρ (\vec{r})

. Wichtig ist, dass mit

{\vec{r}}_{⊥}^{2}

nur der senkrechte Abstand von

\vec{r}

zur Rotationsachse

\vec{ω}

in die Berechnung eingeht.

Als einfaches Beispiel wählen wir einen homogen gefüllten Quader,

ρ (\vec{r}) = M / V = M / (a b c)

, mit den Kantenlängen a, b und c. Diesen legen wir mit seinem Schwerpunkt in den Ursprung des Koordinatensystems. Seine Achsen richten wir parallel zu den Koordinatenachsen aus, also Kante a parallel zur x-Achse, Kante b parallel zur y-Achse und Kante c parallel zur z-Achse. Die Hauptträgheitsachsen (Symmetrieachsen) sind dann die Koordinatenachsen.

Für das Hauptträgheitsmoment um die x-Achse gilt dann:

J_{x} = \int_{V} ρ (\vec{r}) \cdot {\vec{r}}_{⊥}^{2} = \underset{= a}{\underset{⎵}{\int_{- a / 2}^{a / 2} d x}} \int_{- b / 2}^{b / 2} d y \int_{- c / 2}^{c / 2} d z \underset{= ρ (\vec{r})}{\underset{⎵}{\frac{M}{a b c}}} \cdot (y^{2} + z^{2}) = \frac{M}{a b c} \cdot a \cdot \int_{- b / 2}^{b / 2} d y \int_{- c / 2}^{c / 2} d z (y^{2} + z^{2})

= \frac{M}{a b c} \cdot a \cdot \int_{- b / 2}^{b / 2} d y {[y^{2} z + \frac{z^{3}}{3}]}_{z = - c / 2}^{c / 2} = \frac{M}{a b c} \cdot a \cdot \int_{- b / 2}^{b / 2} d y (y^{2} c + \frac{c^{3}}{12}) = \frac{M}{a b c} \cdot a \cdot {[\frac{y^{3}}{3} c + \frac{c^{3}}{12} y]}_{y = - b / 2}^{b / 2}

= \frac{M}{a b c} \cdot a \cdot (\frac{b^{3}}{12} c + \frac{c^{3}}{12} b) = \frac{M}{a b c} \cdot a b c (\frac{b^{2}}{12} + \frac{c^{2}}{12}) = \frac{M}{12} (b^{2} + c^{2})

Die anderen Hauptträgheitsmomente

J_{y}

und

J_{z}

ergeben sich völlig analog, so dass der Trägheitstensor wie folgt lautet:

J = \frac{M}{12} \cdot (\begin{array}{c} b^{2} + c^{2} & 0 & 0 \\ 0 & a^{2} + c^{2} & 0 \\ 0 & 0 & a^{2} + b^{2} \end{array})

So kannst du im Prinzip jeden Trägheitstensor ausrechnen.

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