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Transformationsmatrix mit Einheitsvektoren

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Einheitsvektor, Matrizenrechnung, Transformationsmatrix

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10:07 Uhr, 10.12.2015

Hallo,

ich habe folgene Transformation gegeben.
Der Punkt

(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

wird durch eine Matrix zum Pumkt

(\begin{matrix} x + y \\ x - y \end{matrix})

transformiert.

Nun kann man die Transformationsmatrix ja eigentich schon ablesen.

(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix})

Aber ich meine auch einmal gelesen zu haben, dass man das mit Hilfe der Einhetsvektoren bestimmen kann.
Also man überlegt sich was mit den Einheitsvektoren passiert.
Aber ich weiß leider nicht mehr genau wie das jetzt hier gehen soll.
Könnte mir jemand auf die Sprünge helfen?

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Vektorprodukt

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10:08 Uhr, 10.12.2015

Die Spalten der Matrix sind die Bilder der Einheitsvektoren

(1, 0)

und

(0, 1)

unter der Transformation.

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10:13 Uhr, 10.12.2015

Also wird der Einheitsvektor

(1,0)

(1,1)

und der Einheitsvektor

(0,1)

(1, - 1)

.

Aber wie sind jetzt ja bereits von der Transformationsmatrix ausgegangen. Geht das auch in anderer Richtung?

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10:14 Uhr, 10.12.2015

Die Spalten der Transformationsmatrix sind immer die Bilder der Einheitsvektoren.
Das ist auch einfach zu zeigen.

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10:18 Uhr, 10.12.2015

Ja, das habe ich jetzt auch soweit verstanden.

Denn:

(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) - \to 1

. Spalte

(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) - \to 2

. Spalte

Aber was hilft mir das jetzt bei der oberen Aufgabe?

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10:22 Uhr, 10.12.2015

Worin besteht denn die Aufgabe?

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10:24 Uhr, 10.12.2015

Man soll anhand des Ausgangspunktes

(x, y)

und des transformierten Punktes

(x + y, x - y)

die zugehörige Transformationsmatrix bestimmen.

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10:28 Uhr, 10.12.2015

Dann machst Du entweder mit Einheitsvektoren, wie Du auch zuletzt geschrieben hast, oder sagst: offensichtlich ist die Matrix=...

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10:30 Uhr, 10.12.2015

Aber wie mache ich das mit den Eigenvektoren?
Ich bin aber doch bereits von der Transformationsmatrix ausgegangen (die wäre ja eigentlich gesucht).

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10:33 Uhr, 10.12.2015

Ah ja, das habe ich übersehen.
Mit Einheitsvektoren machst Du das laut Vorschrift

(x, y) \to (x + y, x - y)

.
Angewandt auf Einheitsvektoren:

(1, 0) \to (1, 1)

und

(0, 1) \to (1, - 1)

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10:45 Uhr, 10.12.2015

Also man schreibt sich zunächst mal den Ursprünglichen Vektor und den transformierten Vektor auf.

Dann setzt man zunächst den 1. Einheitsvektor

(1,0)

ein und erhält dann den 1. transformierten Einheitsvektor.
Dann setzt man den 2. Einheitsvektor

(0,1)

ein und erhält den den 2. transformierten Einheitsvektor.

Wie oben festgestellt besteht die 1. Spalte der Transformationsmatrix aus dem 1. transformierten Einheitsvektor.
Die 2. Spalte der Transformationsmatrix besteht aus dem 2. transformierten Einheitsvektor.

Damit hätte man dann die Transformationsmatrix.
Richtig?

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10:49 Uhr, 10.12.2015

Richtig.

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10:49 Uhr, 10.12.2015

Eigentlich ja ganz einfach.
Danke :-)

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