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Transitiv, Symmetrisch —> reflexiv

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Relationen

Tags: Äquivalenzrelation, Reflexivität, Relation., symetrie, Transitivität

 
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AmLeben

AmLeben aktiv_icon

14:22 Uhr, 11.11.2022

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Kann man mit Hilfe der Transitivität und Symmetrie einer Relation nicht auch die Reflexivität schließen.

Mein ansatz:

symmetrie: xRy —> yRx

Transitiv: xRy & yRx —> xRx & yRy

Wieso ist das nicht richtig?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Punov

Punov aktiv_icon

14:35 Uhr, 11.11.2022

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Hallo,

hier ein Gegenbeispiel:

R:={(x,y)∈ℕ×ℕ:b=a≠1}⊂ℕ×ℕ

R ist symmetrisch und transitiv, aber nicht reflexiv.

Viele Grüße
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Roman-22

Roman-22

15:46 Uhr, 11.11.2022

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Symmetrie und Transitivität beziehen sich auf Paare, die Element der Relation sind. Also in der Art "WENN xRy, DANN auch yRx".
Aber die Reflexivität bezieht sich auf ALLE Elemente der zugrunde liegenden Menge. JEDES Element der Menge muss zu sich selbst in Relation stehen.
Deine Überlegung wäre nur dann richtig, wenn alle Elemente der zugrundeliegenden Menge auch tatsächlich in der Relation mitspielten.

Nimm eine beliebige symmetrische, transitive und reflexive Relation R∈M×M und erweitere M um ein zusätzliches Element x zur Menge M2. Zweifellos ist R∈M2×M2 eine Relation auf M2 und sie ist natürlich weiterhin symmetrisch und transitiv. Aber sie ist nicht mehr Reflexiv, da ja (x;x)∉R.


> R:={(x,y)∈ℕ×ℕ:b=a≠1}⊂ℕ×ℕ
Punov hat sich bei seinem Beispiel offenbar selbst mit x,y,a,b verheddert. Vermutlich wollte er die Identitätsrelation in ℕ vermindert um (1;1) konstruieren.
Da 1∈ℕ aber (1;1) nicht in der so konstruierten Relation liegt und die 1 auch in sonst keinem Paar auftritt, liegt eben die von mir oben geschilderte Situation vor.
Betrachtet man seine Relation aber als Relation in ℕ≠1 (natürliche Zahlen ohne 1), dann ist das für diese Menge die Identitätsrelation und natürlich auch reflexiv.
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Punov

Punov aktiv_icon

16:04 Uhr, 11.11.2022

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Hallo,

Ja, da habe ich mich vertippt. Das sollte natürlich {(x,y)∈ℕ×ℕ:x=y≠1} sein. Danke für den Hinweis!

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michaL

michaL aktiv_icon

17:38 Uhr, 11.11.2022

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Hallo,

wenn R eine Relation auf der Menge M ist, dann kann man die suggestiven Schreibweisen xR:={y∈M∣xRy} und Ry:={x∈M∣xRy} definieren.

Transitiv und symmetrisch reicht allein nicht.
Ist aber für jedes x∈M die Menge xR nicht leer, dann, ja, dann ist R auch reflexiv.

Noch spitzer kann man formulieren:
Für jede transitive und symmetrische Relation R auf M gilt:
R ist reflexiv ⇔ xR≠∅∀x∈M

Mfg Michael
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