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Tricks für modulo Rechnung

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Körper, modulo rechnen

Messe687 aktiv_icon

16:07 Uhr, 17.10.2024

Hey,
In einer Vorlesung letztens wurde uns kurz eine Einführung gegeben zur elliptischen Kurve

x^{3} - x^{2} = y^{2} + y

. Dann haben wir uns den Lösungsraum zu verschiedenen Körpern

F_{2}^{2}

F_{3}^{2}

und

F_{5}^{2}

. Das habe ich alles gut im Kopf geschafft, jedoch können wir das gleiche nochmal daheim für größere Primzahlen (z.B.

F_{29}^{2}

) machen.

Meine Frage ist jetzt, ob es irgendwelche hilfreichen Tricks gibt, die man anwenden kann. Es ist leider schon etwas länger her, dass ich Algebra besucht habe.

Folgende „Tricks“ habe ich mir selbst erdacht für

F_{p}^{2}

:

Für

x^{3} - x^{2}

kann man

(x - 1) x^{2}

schreiben und erst das Quadrat berechnen, dann modulo

p

, dann mal

x - 1

und dann gegebenenfalls nochmal modulo

p

. Dadurch habe ich mir teilweise enorm Zeit gespart.

Bei

y^{2} + y

habe ich auch erst

y^{2}

berechnet, danach modulo

p

, dann plus

y

und dann nochmal modulo

p

. Das hat leider nicht so viel Zeit gespart.

Gibt es noch mehr Tricks, wie ich das schneller berechnen kann?

Ich würde mich über eure Ideen freuen und hoffe, dass meine Vorgehensweise überhaupt richtig war :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

HAL9000

16:29 Uhr, 17.10.2024

Deine Wortwahl verwirrt mich etwas: Anscheinend suchst du Lösungspaare

(x, y) \in F_{p}^{2}

, aber

F_{p}^{2}

ist doch kein Körper!

F_{p}

ist einer, d.h. die Komponenten

x, y

der Lösung entstammen diesem Körper, das gesamte Paar

(x, y)

aber nicht!

Was anderes wäre der Galois-Körper

F_{p^{2}}

, aber um den geht es hier augenscheinlich nicht.

Messe687 aktiv_icon

18:19 Uhr, 17.10.2024

Ja genau, es geht um Elementpaare. Sorry hab in der Eile etwas die Begriffe durcheinander geworfen.
Es geht mir aber eigentlich nur um die Modulo Rechnung, danke trotzdem fürs verbessern :-)

HAL9000

19:02 Uhr, 17.10.2024

Was die Polynomberechnung modulo

p

betrifft: Ich weiß nicht, was du bei einem quadratischen Polynom da groß noch vereinfachen willst. Allgemein kann man natürlich Hornerschema-mäßig vorgehen:

Wenn du von

f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

den Wert

f (x) mod p

berechnen willst, dann kannst du via

f (x) = (\dots ((a_{n} x + a_{n - 1}) \cdot x + a_{n - 2}) \cdot x + \dots + a_{1}) \cdot x + a_{0}

die Klammern von Innen nach außen sukzessive modulo

p

reduzieren. Also etwa am Beispiel

f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x + 7

demonstriert:

y_{1} = 2 x - 3 mod p

y_{2} = y_{1} x + 5 mod p

y_{3} = y_{2} x + 7 mod p = f (x)

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