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Tridiagonal matrix

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Alashi aktiv_icon

13:54 Uhr, 12.12.2023

Gegeben sei

T

∈ Rn×n von folgender Form:

T = (a b

c a b

c a b

. . .
. . .
. . .

c a b

c a)

mit bc

> 0

1)

Ich möchte es zeigen dass

T

besitzt für

k = 1, ..., n

die Eigenwerte:

λk

= a

+2bν

cos

(kπ/n+1).

mit den Eigenvektoren vk =(ν sin(kπ/n

+ 1),

ν^2

sin (2

kπ/n+1), · · · , ν^n

sin (n

kπ/n+1))^T.

wobei ν =√cb ⇐⇒

c =

bν^2 ist.

mit Hinweise 2cos(x)sin(lx)

= sin ((l + 1) x) + sin ((l

−

1) x)

2)

für

a = 2

und

b = c =

−1 die Kondition cond2(T). Wie verhält sie sich für

n

−→ ∞ ?
Was für ein Typ Matrix ist

T

unter diesen Bedingungen? Falls nötig, machen
Sie eine Taylorentwicklung der Kosinusfunktion.

Ich hab meine lösung als Photo beigefügt falls jemand mir helfen um es nachzusehen wird super . danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

15:52 Uhr, 12.12.2023

> wobei ν =√cb ⇐⇒ c= bν^2 ist.

Das ist wohl einiges im Formelsatz schiefgegangen - ich tippe mal, das sollte

v = \sqrt{\frac{c}{b}} \overset{}{\Leftrightarrow} c = b v^{2}

heißen, oder?

Tja, man hat die Wahl zwischen diesen fehlerhaften Formeln, oder dem nicht minder schweren Entziffern der Scans, beides wohl nicht vergnügungssteuerpflichtig.

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15:56 Uhr, 12.12.2023

ja so ist Richtig
danke.
die lösung ist

i . O!

HAL9000

16:39 Uhr, 12.12.2023

Ok, also 1) können wir abhaken, nehme ich an.

Bei 2) reden wir aber doch über die Konditionszahl basierend auf der Spektralnorm, oder? Da

T

und somit auch

T^{- 1}

symmetrische Matrizen sind, ist deren Spektralnorm jeweils der Betrag vom betragsgrößtem Eigenwert!

Das schreit ja danach, die Erkenntnisse von 1) zu nutzen, was ich aus deinem Aufschrieb leider so gar nicht erkennen kann.

Alashi aktiv_icon

09:38 Uhr, 13.12.2023

danke für die Rückmeldung.
cih wollte mal fargen wie kann ich

n

bestimmen um λk

= a

+2bν

cos

(kπ/n+1) zu berechnen !
und für invers bekomme ich kommische zahlen gibt es eine Website, die das im Detail erklärt !

Mfg
Abdull

HAL9000

11:17 Uhr, 13.12.2023

> danke für die Rückmeldung.

Noch besser wäre gewesen, wenn du das von mir geschriebene auch wirklich durchgelesen und beherzigt hättest.

Stattdessen postest du alles (inklusive deiner falschen Konditionszahlberechnung) nochmal auf

www.matheboard.de/thread.php?threadid=605115 :(

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11:20 Uhr, 13.12.2023

Ich wollte wiisen wie kann ich die frage lösen .. ich habe schwierigkeit durch die lösung gehabt. was ich im letzten Kommentar geschrieben habe.

HAL9000

11:24 Uhr, 13.12.2023

n

wird nicht bestimmt, sondern ist als Matrixdimension vorgegeben - was soll also diese Frage???

Zur Konditionszahl-Berechnung:

1) angewandt mit

v = 1

hat

T

die Eigenwerte

λ_{k} = 2 - 2 \cos (\frac{k π}{n + 1})

, es ist somit

{∥ T ∥}_{2} = max_{k = 1, \dots, n} λ_{k} = 2 - 2 \cos (\frac{n π}{n + 1}) = 2 + 2 \cos (\frac{π}{n + 1})

.

Anderseits sind

{\tilde{λ}}_{k} = \frac{1}{2 - 2 \cos (\frac{k π}{n + 1})}

die Eigenwerte der Matrix

T^{- 1}

, somit ist

{∥ T^{- 1} ∥}_{2} = max_{k = 1, \dots, n} {\tilde{λ}}_{k} = \frac{1}{2 - 2 \cos (\frac{π}{n + 1})}

und folglich

{cond}_{2} (T) = {∥ T ∥}_{2} \cdot {∥ T^{- 1} ∥}_{2} = \frac{2 + 2 \cos (\frac{π}{n + 1})}{2 - 2 \cos (\frac{π}{n + 1})}

Angesichts von

1 + \cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x)

und

1 - \cos (2 x) = 2 \sin^{2} (x)

kann man das auch schreiben als

{cond}_{2} (T) = \cot^{2} (\frac{π}{2 (n + 1)})

Alashi aktiv_icon

11:43 Uhr, 13.12.2023

Danke, meine überlegungen zur Lösung waren völlig anders.

Wie verhält sie sich für n→ ∞ ? Ich wollte sagen dass

{cot}^{2} (x) =

1/tan^2(π/2(n+1))

lim

n->∞ cot^2(x)=(π/2(n+1)=

lim

n->∞ 1/tan^2(π/2(n+1)
Da π/2(n+1) gegen 0 geht geht tan (π/2(n+1)gegen 0 .
also

lim

n->∞ cot^2(x)=(π/2(n+1)=

\frac{1}{0} =

∞ gegen unendlich geht.

HAL9000

12:30 Uhr, 13.12.2023

Ja stimmt.

> Danke, meine überlegungen zur Lösung waren völlig anders.

Wie gesagt: Ich konnte gar nicht erkennen, was du hinsichtlich Kondition gerechnet hattest. Ich hatte lediglich dein Ergebnis

{cond}_{2} (T) = 1

gesehen, und das ist aber für alle

n \geq 2

falsch.

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13:38 Uhr, 13.12.2023

Ich meinte laut deiner Antwort cond2(T)=cot^2(π/2(n+1)) wird cond2(T) gegen unendlich geht.

Ich noch eine Bitte / ich muss eigentlich meine Aufgaben alle richtig lösen.

Ist es Teil 1 richtig was in ersten Bild steht

Ich hab noch andere Aufgabe unter LR-Zerlegung gelöst könntest du bitte es nachsehen wirde ich dankbar.

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13:38 Uhr, 13.12.2023

HAL9000

14:45 Uhr, 13.12.2023

Was 1) betrifft - tut mir leid, ich bin 50+ und das ist nichts mehr für meine Augen.

Im großen und ganzen scheint es in Ordnung zu sein - an manchen Stellen sehe ich (im letzten Term vorm Zeilenende) ein

v^{i}

, wo stattdessen ein

v^{i + 1}

hingehört.

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15:00 Uhr, 13.12.2023

aha sorry wusste ich nicht.
ich versuche es auf dem Pc zu schreiben.

könnten Sie bitte mir sagen ob meine Antwort richtig ist (Wie verhält sie sich für n→ ∞) laut Ihrer Antwort geht cond2(T) gegen unendlich .

Was für ein Typ Matrix ist T unter diesen Bedingungen? Falls nötig, machen Sie eine Taylorentwicklung der Kosinusfunktion
meine Antwort ist Tridiagonal-Toeplitz-Matrix

HAL9000

15:07 Uhr, 13.12.2023

Mein obiges "Ja stimmt" bezieht sich auf diese Aussage

lim_{n \to \infty} {cond}_{2} (T_{n}) = \infty

. Man kann sogar gemäß der Kotangensdarstellung genauer sagen

lim_{n \to \infty} [{cond}_{2} (T_{n}) - \frac{4 {(n + 1)}^{2}}{π^{2}}] = - \frac{2}{3}

,

aber das nur als Bonus. ;-)

Alashi aktiv_icon

15:57 Uhr, 13.12.2023

für teil 1
um zu zeigen dass die Eigenwerte λk = a + 2 b ν cos (kπ/n + 1)

und Eigenvektoren vk =(ν sin(kπ/n + 1), ν^2 sin(2 kπ/n + 1), · · · , ν^n sin(n kπ/n + 1))^T.
wobei ν =
√cb ⇐→ c = bν2 ist.

hatte hinweis geschrieben :

Berechnen Sie das Produkt aus T und den Eigenvektoren und bringen Sie das Ergebnis in eine geeignete Form.

Es gilt für l, x ∈ R die Formel: 2cos(x) sin(lx) = sin((l + 1)x) + sin((l − 1)x)

so ich könnte andere lösung finden

erechnen Sie das Produkt von T und dem gegebenen Eigenvektor vk :T.Vk = λk.Vk

der Eigenvektor Vk ( ν sin(kπ/n +1)
ν^2 sin(2 kπ/n +1)
.
.
.
ν^n sin(n kπ/n+1))

das Produkt T Vk = ( av sin(kπ/n + 1) + bν^2 sin(2 kπ/n + 1)
cv sin(kπ/n + 1)+ aν^2 sin(2 kπ/n + 1) +bν^3 sin(3 kπ/n + 1)
cν^n-1 sin((n-1) kπ/n + 1) + aν^n sin(n kπ/n + 1)

Nun verwenden wir die Hinweise und die gegebene Formel
2cos(x) sin(lx) = sin((l + 1)x) + sin((l − 1)x)

T Vk = ( av sin(kπ/n + 1)+ 2bν^2 sin(2 kπ/n + 1)
cv sin(kπ/n + 1)+ aν^2 sin(2 kπ/n + 1) + 2bν^3 sin(3 kπ/n + 1)
cν^n-1 sin((n-1) kπ/n + 1) + aν^n sin(n kπ/n + 1)

Nun erkennen wir, dass die Gleichung λk = a + 2 b ν cos (kπ/n + 1)

Das bedeutet, dass T Vk = λk.Vk jeden Eigenvektor Vk und den entsprechenden k gilt.
Somit haben wir gezeigt, dass die Matrix T die angegebenen Eigenwerte und Eigenvektoren besitzt.

was denken Sie !

HAL9000

16:05 Uhr, 13.12.2023

Vielleicht bin ich ja übermäßig anstrengend für die Generation Z, aber ich hätte gern mal was lesbares wie

c ν^{j - 1} \sin (\frac{(j - 1) k π}{n + 1}) + a ν^{j} \sin (\frac{j k π}{n + 1}) + b ν^{j + 1} \sin (\frac{(j + 1) k π}{n + 1})

= b ν^{j + 1} [\sin (\frac{(j - 1) k π}{n + 1}) + \sin (\frac{(j + 1) k π}{n + 1})] + a ν^{j} \sin (\frac{j k π}{n + 1}) = [2 b ν \cos (\frac{k π}{n + 1}) + a] ν^{j} \sin (\frac{j k π}{n + 1})

Das Copy+Paste ist für mich nicht besser als der Scan - nur "anders schlecht".

Alashi aktiv_icon

16:36 Uhr, 13.12.2023

Alles Klar.

so teil 1 und 2 sind fertig .

ich Danke Ihnen für die Hilfe.

ich hab auch die lösung der anderen Frage LR-Zerlegung als text gelöst und es ist Losbar.
wenn Sie zeit haben, könnten Sie die frage überprüfen ?
vielen Dank

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