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Trigonometrische Gleichung / Vereinfachen & Lösen

Universität / Fachhochschule

Tags: Additionstheorem, Trigonometrische Gleichungen

FruitDealer aktiv_icon

00:06 Uhr, 15.11.2016

Hallo,

ich soll folgende Gleichung für

x

∈

[

−π2,π2] lösen:

\sqrt{3} - sin (x) = sin (2 x) \cdot cos (x) - cos (2 x) \cdot sin (x)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Nun weiß ich, dass mit Hilfe der Additionstheoreme

sin (2 x) = 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x)

cos (2 x) =

cos²(x)-sin²(x)

ersetzt werden kann.

Weiter komme ich leider nicht.
Wäre cool wenn mir dabei jemand helfen könnte :-)

Danke im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pleindespoir aktiv_icon

00:15 Uhr, 15.11.2016

\sqrt{3} - \sin (x) = \sin (2 x) \cdot \cos (x) - \cos (2 x) \cdot \sin (x)

s i n (2 x) = 2 \cdot s i n (x) \cdot c o s (x)

c o s (2 x) = c o s ² (x) - s i n ² (x)

\sqrt{3} - \sin (x) = 2 \cdot s i n (x) \cdot c o s (x) \cdot \cos (x) - (c o s ² (x) - s i n ² (x)) \cdot \sin (x)

\sqrt{3} - \sin (x) = 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) \cdot \sin (x)

\sqrt{3} - \sin (x) = \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) \cdot \sin (x)

\sqrt{3} - \sin (x) = (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) \cdot \sin (x)

\sqrt{3} - \sin (x) = \sin (x)

\sqrt{3} = 2 \sin (x)

\frac{1}{2} \sqrt{3} = \sin (x)

FruitDealer aktiv_icon

00:40 Uhr, 15.11.2016

Das war ja leicht. Hab das ganz übersehn, dass ich

sin (x)

herausheben kann und auf

{sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (x) = 1

komme.

Danke vielmals!

abakus

07:25 Uhr, 15.11.2016

Das war etwas umständlich.

Bereits in der ersten Zeile kann man für
sin(2x)cos(x)-cos(2x)sin(x) den Term sin(2x-x) einsetzen (und das ist sin(x)).
;-)

pleindespoir aktiv_icon

20:02 Uhr, 15.11.2016

sin(2x)cos(x)-cos(2x)sin(x) den Term sin(2x-x) einsetzen (und das ist sin(x)

\sin (2 x) \cos (x) - \cos (2 x) \sin (x) = \sin (x)

ganz klar - und auch für jeden direkt ohne Herleitung nachvollziehber - wirklich einfach!

abakus

11:25 Uhr, 16.11.2016

Hallo pleindespoir,
wenn jemand im Eröffnungspost schreibt:

"Nun weiß ich, dass mit Hilfe der Additionstheoreme..."
dann besteht doch die begründete Annahme, dass derjenige selbige auch kennt.

Ich stelle ja nicht in Abrede, dass in der gegebenen Gleichung die direkte Anwendbarkeit nicht auf den ersten Blick sichtbar ist. Wer aber die Additionstheoreme kennt und auf einen Term stößt, in den der Sinus eines Winkels und der Kosinus eines anderen Winkels vorkommt (und in der selbe Zeile das Gleiche noch einmal mit vertauschten Rollen), der hätte schon eine Anlass stutzig zu werden und etwas genauer hinzuschauen...

Die Welt geht nicht unter, wenn man diesen noch kürzeren Weg nicht findet, aber man kann doch mal drauf hinweisen (schon um den Blick für solche Situationen zu schärfen).

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