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Überführen von DglS 2. Ordnung in 1. Ordnung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

CHui123 aktiv_icon

23:56 Uhr, 12.03.2012

Hallo, ich habe folgende Aufgabe!

Überführen Sie folgendes Differentialgleichnungssystem 2. Ordnung in ein System 1. Ordnung und bringen Sie dieses in Matrixschreibweise!

$y_{1}'' - y_{1} + y_{2} = 0$

$y_{2}'' + y_{1} + y_{2} = 0$

In der Vorlesung haben wir aber nur eine Lin. Dgl 2. Ordnung in ein System 1. Ordnung übertragen, kein System in ein anderes System!

z.B. Dgl: $y'' + y' - 2 y = 0$

in System:

$y_{1}' = y_{2}; y_{2}' = 2 y_{1} - y_{2}$

umgewandelt.

Kann mir jemand bei der oberen Aufgabe helfen? die y1 und y2 irritieren mich irgendwie!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

CKims aktiv_icon

00:50 Uhr, 13.03.2012

gleich vorweg... ich mache das auch zum ersten mal und weiss noch nicht wohin das führt... ;-) aber ich wuerde das so machen

(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} y_{1}' \\ y_{1} \\ y_{2}' \\ y_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} y_{1}' \\ y_{1} \\ y_{2}' \\ y_{2} \end{matrix})'

CHui123 aktiv_icon

01:10 Uhr, 13.03.2012

Das verstehe ich ja mal grade gar nicht,

wie kommst du denn darauf?

CKims aktiv_icon

01:16 Uhr, 13.03.2012

wenn du links die matrix mit dem vektor multiplizierst kommt genau das gegebene dgl system raus

anonymous

01:19 Uhr, 13.03.2012

\begin{array}{ccc} y_{1} ʺ - y_{1} + y_{2} & = & 0 \\ y_{2} ʺ + y_{1} + y_{2} & = & 0 \end{array}

Um vielleicht einer Verwirrung vorzubeugen, würde ich neue Variablen einführen.

Und zwar

y_{1} = x_{1}

y_{1} ʹ = x_{2}

y_{2} = x_{3}

y_{2} ʹ = x_{4}

Dann wird aus deinen Gleichungen

\begin{array}{ccc} x_{2} ʹ - x_{1} + x_{3} & = & 0 \\ x_{4} ʹ + x_{1} + x_{3} & = & 0 \end{array}

Die beiden fehlenden Gleichungen erhältst du dann aus der Definition:

x_{1} ʹ = x_{2}

x_{3} ʹ = x_{4}

Auflösen jeder Gleichung nach der 1. Ableitung:

x_{1} ʹ = x_{2}

x_{2} ʹ = x_{1} - x_{3}

x_{3} ʹ = x_{4}

x_{4} ʹ = - x_{1} - x_{3}

bzw. als Matrixschreibweise:

[\begin{array}{c} x_{1} ʹ \\ x_{2} ʹ \\ x_{3} ʹ \\ x_{4} ʹ \end{array}] = [\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ - 1 & 0 & - 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}]

CHui123 aktiv_icon

12:55 Uhr, 13.03.2012

Danke für die hilfreichen Antworten!

Nochmal eine andere Aufgabe, auch bei der weis ich nicht wie ich ran gehen soll!

2) Überführen Sie folgendes System 1. Ordnung in eine Differentialgleichung 2. Ordnung und lösen Sie diese!

$\dot{x} + y = \sin 2 t$

$\dot{y} - x = \cos 2 t$

Sowas haben wir auch noch nicht gemacht, aber kommt in den Übungsaufgaben vor... kann mir jemand helfen?

Yokozuna aktiv_icon

13:08 Uhr, 13.03.2012

Hallo,

leite die erste Differentialgleichung nach t ab:

$\ddot{x} + \dot{y} = 2 \cdot \cos (2 \cdot t)$

Jetzt kann man mit Hilfe der zweiten Differentialgleichung $\dot{y}$ eliminieren:

$\dot{y} - x = \cos (2 \cdot t) \Rightarrow \dot{y} = x + \cos (2 \cdot t)$

In die obere Gleichung einsetzen:

$\ddot{x} + x + \cos (2 \cdot t) = 2 \cdot \cos (2 \cdot t) \Rightarrow \ddot{x} + x = \cos (2 \cdot t)$

Viele Grüße

Yokozuna

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