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Überlagerung der harmonischen Schwingungen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

Krita aktiv_icon

20:17 Uhr, 07.07.2019

Guten Abend Leute,
Folgende Fragestellung (siehe Anhang)

Es handelt sich bei mir um eine Klausur-Aufgabe.
Leider gibt es bei mir im Script keine Hinweise wie ich diese Aufgabenstellung angehen soll.
Hat jemand einen Ansatz für mich ?
LG Krita

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pleindespoir aktiv_icon

22:25 Uhr, 07.07.2019

Der Lösungsansatz steht doch schon in der Fragestellung:

Zeiger in der komplexen Ebene

z = \cos φ + i \cdot \sin φ

schon mal irgendwo gesehen ?

Krita aktiv_icon

12:36 Uhr, 08.07.2019

Heyho leider noch nicht gesehen.

Also ich muss um

f (t) = f 1 (t) + f (f 2)

addieren.

f 1 (t)

und

f 2 (t 2)

müssen erstmal aber noch in eine andere Form gebracht werden.

Erste Frage muss bei

f 1 (t) = cos (2 t)

in Sinus umgewandelt werden ?
bzw der

- sin (2 t)

in Cosinus bei

f 2 (t)

?
Ich muss das ganze ja in die Form bringen

f 1 (t) =

A*e^j(w*t+fi) und f2(t)=A*e^j(w*t+fi)
bringen oder ?
Jede Schwingung muss einem komplexen Zeiger zugeordnet werden.
Addition in Exponentialform
und dann = ???

Zweite Frage: Kann jemand die Aufgabe lösen damit der Ablauf mir klar wird?
Schwieriger als das wird es nicht in der Klausur da wir es nur kurz angesprochen haben in der Vorlesung. Der Ablauf ist ja bei dem Aufgabentyp der selbe oder ?

Ich habe leider keine einzige Beispielrechnung zur Verfügung.

LG Krita

Enano

20:16 Uhr, 08.07.2019

Moin,

es sollte zuerst

f_{1} (t)

in Sinusform dargestellt werden.
Weil eine Kosinusschwingung als eine Sinusschwingung mit einem um

\frac{π}{2}

vergrößerten Nullphasenwinkel aufgefasst werden kann, ist:

f_{1} (t) = cos (2 t) = sin (2 t + \frac{π}{2})

Dann Darstellung in komplexer Form:

f_{1} \to {\underset{̲}{f}}_{1} = 1 \cdot e^{j 2 t + \frac{π}{2}} = 1 \cdot e^{j 2 t} \cdot e^{\frac{π}{2}}

f_{2} \to {\underset{̲}{f}}_{2} = - 1 \cdot e^{j 2 t}

Die komplexen Scheitelwerte werden addiert und anschließend der reelle Scheitelwert und der Nullphasenwinkel ausgerechnet:

{\underset{̲}{f}}_{1 S} + {\underset{̲}{f}}_{2 S} = 1 - j \cdot 1

f_{g e s S} = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{2}

φ =

arctan

(\frac{1}{- 1}) =

-45°

+

180°(Zeiger liegt im 2.Quadranten) = 135°=

\frac{3}{4} π

rad

Insgesamt ergibt sich also in komplexer Form:

{\underset{̲}{f}}_{g e s} = \sqrt{2} \cdot e^{j (2 t + \frac{3}{4} π)}

Die Rücktransformation in die reelle Form führt zu:

f_{g e s} = \sqrt{2} \cdot sin (2 t + \frac{3}{4} π)

Roman-22

20:48 Uhr, 08.07.2019

>

Erste Frage muss bei

f 1 (t) = cos (2 t)

in Sinus umgewandelt werden ?

>

bzw der −sin(2t) in Cosinus bei

f 2 (t)

?
Kann helfen.
Wie sehen denn dann die Darstellungen bei dir aus?

f_{1} (t) = 1 \cdot sin (2 t + ...)

und

f_{2} (t) = 1 \cdot sin (2 t + ...)

>Ich muss das ganze ja in die Form bringen

f 1 (t) =

A*e^j(w*t+fi) und f2(t)=A*e^j(w*t+fi)
bringen oder ?
Ja, aber da es sich zum Glück um gleichfrequente Schwingungen handelt, bleibt die relative Position der Zeiger und ihre Summe zueinander immer gleich.
Es reicht daher

f_{1} (0) + f_{2} (0)

zu berechnen - da kann man dann direkt Amplitude und Nullphasenwinkel ablesen.

>

Addition in Exponentialform
Na ganz sicher nicht! Wie möchtest du denn zwei komplexe Zahlen in dieser Darstellung addieren? Die Addition muss in der Komponentendarstellung durchgeführtt werden und das Ergebnis dann wieder in Exponentialform gebracht werden, damit du eben Amplitude und Nullphasenwinkel der Summenschwingung ablesen kannst.

Wenn du dir die beiden, zu

f_{1} (0)

und

f_{2} (0)

gehörigen Zeiger in der Gaußebene vorstellst, kannst du sie aufgrund der speziellen Werte dort im Kopf addieren und sofort ohne jegliche schriftliche Rechnung das Ergebnis

f (t) = \sqrt{2} \cdot sin (2 t + 3 \frac{π}{4})

angeben!

Also fang an - wie sehen die beiden Zeiger nun aus?

EDIT: Sorry! Eanos Beitrag wurde bei mir nicht angezeigt, obwohl er eine halbe Stunde vor meinem datiert. Mein Beitrag ist damit hinfällig.

Krita aktiv_icon

10:48 Uhr, 09.07.2019

Heyho danke euch beiden.
Ich hab das nochmal nachgerechnet um zu schauen ob ich es alleine schaffe.
Ich habe eine Frage. Stimmt das so in der vorgegeben Lösung mit dem 2 Quadranten?
Ich komme da auf den 4 Quadranten.

f 1 s + f 2 s = 1 - j

Die komplexe Zahl landet nicht im 2 Quadranten oder verstehe ich da was falsch ? :-D)
Im Anhang ist meine Lösung.

Krita aktiv_icon

10:57 Uhr, 09.07.2019

Ich bin nicht sicher ob mein Lösungsversuch mit dabei ist.
Also lieber doppelt :-D)

Roman-22

11:23 Uhr, 09.07.2019

Ich weiß nicht, was du mit

f_{1 s}, f_{2 s}, c_{1}

und

c_{2}

meinst und daher auch nicht, wie du auf

1 - j

kommst und was das für dich bedeuten soll.

Ist dir nicht klar, dass der Schwingung

cos (2 t)

zum Zeitpunkt

t = 0

der Zeiger

0 + j

und der Schwingung

- sin (2 t)

(beachte hier die Verschiebung um

π)

zum Zeitpunkt

t = 0

der Zeiger

- 1 + 0 j

entspricht?
Die Addition der beiden ergibt jedenfalls

- 1 + j

und damit kommst du auf das genannte richtige Ergebnis.

P . S . :

Dein Schreibweise

e^{(j \cdot 2 t + \frac{π}{2})}

ist übrigens falsch, es müsste

e^{j \cdot (2 t + \frac{π}{2})}

lauten

Krita aktiv_icon

11:27 Uhr, 09.07.2019

Ah Oki danke, nein leider war es mir nicht bewusst.
Danke ich werde bald das ganze nochmal rechnen und reinstellen.
Hoffentlich mit der richtigen Notation :-D)

Enano

13:43 Uhr, 09.07.2019

"Stimmt das so in der vorgegeben Lösung mit dem 2 Quadranten?"

Ja, denn ich habe mich vertippt:

Die Addition der komplexen Scheitelwerte müsste selbstverständlich

- 1 + j \cdot 1

ergeben und nicht

1 - j \cdot 1,

denn bei

t = 0

ist:

- 1 \cdot (cos 0 + j \cdot sin 0) = - 1 \cdot (1 + j \cdot 0) = - 1

und

1 \cdot (cos (\frac{π}{2}) + j \cdot sin (\frac{π}{2})) = 1 \cdot (0 + j \cdot 1) = j \cdot 1

Weitere Korrektur eines Fehlers (Klammern vergessen), der mir nur dank Romans Beitrag aufgefallen ist:

f_{1} \to {\underset{̲}{f}}_{1} = 1 \cdot e^{j \cdot (2 t + \frac{π}{2})} = . .

.

Ich war wohl noch in der Tiefschlafphase. ;-)

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