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Überprüfung auf Diagonalisierbarkeit
Universität / Fachhochschule
angewandte lineare Algebra
Tags: Angewandte Lineare Algebra, Diagonalisierbarkeit, Diagonalisierung, Matrix
 
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Hallo, ich habe folgende Matrix gegeben: Ich soll diese nun auf Diagonalisierbarkeit überprüfen. In der Klausur habe ich das volle Programm abgespult, um das zu zeigen, allerdings gehe ich davon aus, dass das eine viel schneller zu bearbeitende Aufgabe gewesen war. Nun die Frage: Gibt es eine Möglichkeit, Diagonalisierbarkeit schnell(er) zu zeigen? In dem Fall ist es ja eine Diagonalmatrix, reicht das als Begründung? Danke! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn die Summe der Dimensionen der Eigenräume gleich der Anzahl der Spalten/Zeilen der Matrix ist bzw. es eine Basis aus Eigenvektoren der Matrix gibt. Das lässt sich aus eine Dreiecksmatrix nicht ohne weiteres ersehen. Ein Gegenbeispiel etwa wäre . Offenbar hat sie nur genau einen Eigenwert (). Der Eigenraum ist und hat insbesondere nur die Dimension 1. So, warum ist aber deine Matrix trotzdem sicher (reell) diagonalisierbar? Man sieht an ihrer Dreiecksgestalt, dass sie genau drei (verschiedene) Eigenwerte hat: , , . Jeder der Eigenräume hat mindestens die Dimension 1, aber auch höchstens, da die Summe der Dimensionen höchstens 3 ergeben kann. Damit ist die grundlegende Eigenschaft erfüllt, dass es eine Basis aus Eigenvektoren gibt. Mfg Michael |
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Vielen Dank schonmal! Ich habe in der Klausur das ganze mit geometrischer und algebraischer Vielfachheit gezeigt. Das hat mich allerdings viel Zeit gekostet und deine Lösung ist deutlich kompakter bzw. flotter. Danke! |
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