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Umformung von Fakultät zum Kürzen

Schüler Gymnasium,

Tags: Bruch, Fakultät

flachzange18 aktiv_icon

13:14 Uhr, 12.06.2015

Hallo, bei dieser Aufgabe sollte man den Grenzwert einer Reihe bestimmen. Habe es bis hierhin selbst gerechnet:

\frac{5 \cdot {(n + 1)}^{2} \cdot (2 n)!}{(2 n + 2)!}

Ich weiß, dass man die Fakultäten entfernen muss,

d . h

. im Nenner sollte

(2 n)!

stehen um kürzen zu können.

Ich weiß durch langes probieren, dass man

(2 n + 2)!

auch als

(2 n)! \cdot (2 n + 1) (2 n + 2)

aber wieso? Wie könnte ich per Definition schneller draufkommen??

danke für eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Matlog aktiv_icon

13:39 Uhr, 12.06.2015

Du hast bereits eine andere Frage zu den Fakultäten gestellt.
Offensichtlich ist das Prinzip der Fakultät immer noch nicht klar.

Wenn man sich einfach nur klar macht, was

(2 n + 2)!

bedeuted, steht alles sofort da.
Vielleicht hilft ja ein Beispiel:

n = 5 :

Dann geht es also um

12!

und um

10!

. Wie kann man

12!

mit Hilfe von

10!

ausdrücken?

flachzange18 aktiv_icon

14:27 Uhr, 12.06.2015

tut mir leid aber ich weiß nicht wie das geht, zb.

12!

wäre vlt.

(10 + 2)!

? Mir feht etwas an Verständnis...

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14:32 Uhr, 12.06.2015

12! = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 ... \cdot 1

10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot ... \cdot 1

- - \to 12! = 10! \cdot 12 \cdot 11

- - \to (2 n + 2)! = 2 n! \cdot (2 n + 2) \cdot (2 n + 1)

Edddi aktiv_icon

14:39 Uhr, 12.06.2015

12! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12

(10 + 2)! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12

(10 + 2)! = (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10) \cdot 11 \cdot 12

(10 + 2)! = 10! \cdot 11 \cdot 12

Allgemein gilt

(n + 1)! = n! \cdot (n + 1)

(n + 2)! = ((n + 1) + 1)!

(n + 2)! = (n + 1)! \cdot ((n + 1) + 1)

(n + 2)! = (n + 1)! \cdot (n + 2)

(n + 2)! = n! \cdot (n + 1) \cdot (n + 2)

und somit

(n + 3)! = n! \cdot (n + 1) \cdot (n + 2) \cdot (n + 3)

;-)

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