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Umindizieren einer unendlichen Reihe

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Alternierend, Folgen und Reihen, Indexverschiebung, Konvergenz, Majorantenkriterium????, Majorantentest, Umindizierung

benaddict aktiv_icon

16:52 Uhr, 06.01.2017

Hallo.
Ich habe ziemliche Startschwierigkeiten bei einer Übungsaufgabe und bitte um Hilfe.

Aufgabe:
Zeigen Sie, dass die Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n}

konvergiert.

Hinweis:
Dies erreicht ihr durch geschicktes Umindizieren der Summe. Betrachtet die Summe anstelle von bis unendlich, bis zu einer bestimmten Zahl. Wenn Ihr die Konvergenz dieser und ihres Nachfolgers (+1) anschaut und diese den gleichen Grenzwert haben, sind die Folgen konvergent. Zur Konvergenz könnt ihr das Majorantenkriterium verwenden.

Ich komme einfach nicht darauf, wie man die Reihe umindizieren kann.
Durch eine Recherche bin ich auf zwei Indexverschiebungen gekommen, die mir aber mMn nicht weiterhelfen, ich zeige sie euch trotzdem mal: (falls es überhaupt stimmt, bzw. ich es richtig umgesetzt habe)

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n + 1}}{n + 1}

In diesem Fall hätte ich den Startindex von 1 nach 0 verschoben, doch die Reihe würde ja trotzdem gegen unendlich gehen. Bringt mir also nichts.

Im Skript steht bzgl unendlichen Reihen noch folgendes:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n} - \sum_{n = 1}^{k - 1} \frac{(- 1)^{n}}{n}

Wobei mir der Nutzen hier schleierhaft ist.

Hat jemand von euch vielleicht eine Idee wie man die Reihe geschickt umindizieren kann und möchte mir helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

17:05 Uhr, 06.01.2017

Hallo,

ich bin mir nicht sicher, ob Folgendes gemeint ist: Du kannst in den endlichen Summen jeweils 2 Terme zusammenfassen:

\frac{{(- 1)}^{n}}{n} + \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n + 1} = {(- 1)}^{n} \cdot \frac{1}{n^{2} + n}

Also ist die Folge der Partialsummen mit geradem oberen Index konvergent nach dem Majorantenkriterium....

Gruß pwm

benaddict aktiv_icon

17:52 Uhr, 06.01.2017

Danke für die Antwort.

Ich bin mir allerdings nicht sicher wie man bis zu dem Punkt kommt, an dem man mit endlichen Summen arbeiten kann.
Spaltet man die Reihe in Partialsummen auf?

Also z.B. so:

s_{k} = \sum_{n = 1}^{k} \frac{(- 1)^{n}}{n}

Mit limes von k gegen unendlich wäre das ja dann äquivalent zur unendlichen Reihe:

lim_{n \to \infty} \sum_{n = 1}^{k} \frac{(- 1)^{n}}{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n}

ledum aktiv_icon

22:36 Uhr, 06.01.2017

Hallo
1. summiere bis

2 k,

dann hast du mit pwm Methode nur positive Summanden

1 - \frac{1}{2}, \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{3^{2} + 3} \frac{,1}{5^{2} + 5}

usw.
summierst du einen Schritt weiter kommt noch

\frac{1}{2 k + 1}

dazu
Konvergenz durch Majorantenkriterium mit

\sum \frac{1}{n^{2}}

konvergent
und

\frac{1}{2 k + 1}

gegen 0
Gruß ledum

benaddict aktiv_icon

03:07 Uhr, 07.01.2017

Ich glaube langsam dass ich zu dumm bin um euch zu folgen :(

Wie kommst du denn auf

1 - \frac{1}{2}, \frac{1}{3} - \frac{1}{4}

... ?

Wenn du dich auf die "pwm-Methode" beziehst, dann meinst du doch:

\frac{(- 1)^{n}}{n} + \frac{(- 1)^{n + 1}}{n + 1}

und soweit ich weiß ist doch

\frac{(- 1)^{1}}{1} = - 1

und

\frac{(- 1)^{2}}{2} = \frac{1}{2}

, also müsste doch eigentlich

- 1 + \frac{1}{2}, \frac{- 1}{3} + \frac{1}{4}, . . .

rauskommen, oder wo liegt mein Denkfehler?

Ich habe auch Probleme zu verstehen, wie man pwmeyers Methode als Summe/Partialsumme angeben kann, denn wenn ich

\sum_{n = 1}^{2 k} (\frac{(- 1)^{n}}{n} + \frac{(- 1)^{n + 1}}{n + 1})

schreibe, dann wäre das Ergebnis ja

- 1 + \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - \frac{1}{3}, \frac{- 1}{3} + \frac{1}{4}, . . .

also kann das ja nicht stimmen, aber wie macht man es dann richtig?

IPanic aktiv_icon

19:18 Uhr, 07.01.2017

Jo,

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{n}

ist konvergent

\Leftrightarrow {(s_{k})}_{k \in ℕ}

mit

s_{k} := \sum_{n = 1}^{k} \frac{{(- 1)}^{n}}{n}

ist konvergent.
Anstatt dir

(s_{k})

anzugucken betrachtest du jetzt die Teilfolge

(s_{2 k})

. Für

k \in ℕ

gilt:

s_{2 k} = \sum_{n = 1}^{2 k} \frac{{(- 1)}^{n}}{n} = \sum_{n = 1}^{k} - \frac{1}{2 n - 1} + \frac{1}{2 n} = \sum_{n = 1}^{k} - \frac{1}{4 n^{2} - 2 n}

Für

n \in ℕ

ist dann

| - \frac{1}{4 n^{2} - 2 n} | = \frac{1}{4 n^{2} - 2 n} < \frac{1}{n^{2}}

. Das Majorantenkriterium liefert die Konvergenz der Reihe

(s_{2 k})

. Wegen

(s_{2 k + 1}) = (s_{2 k} - \frac{1}{2 k + 1})

folgt die Konvergenz der Teilfolge

(s_{2 k + 1})

mit dem Grenzwert

lim_{k \to \infty} s_{2 k} := a \in ℝ

. Dann existiert aber zu

ε > 0

ein

n_{0} \in ℕ

mit

s_{k} \in U_{ε} (a)

für alle

k > n_{0}

und die Reihe

(s_{k})

ist konvergent.

benaddict aktiv_icon

21:18 Uhr, 07.01.2017

Vielen Dank :-) ich glaube ich verstehe nun.
Man geht also so vor:

- man bildet eine Partialsumme

s_{k}

, im Bewusstsein dass eine unendliche Reihe konvergiert, wenn die Folge ihrer Partialsummen konvergiert

- die Folge

(s_{k}) k \in ℕ

beinhaltet alle Partialsummen der Reihe von 1 bis k

- anschließend bildet man die Teilfolge

(s_{2 k}) k \in ℕ

, im Bewusstsein dass Teilfolgen und Folgen gegen den gleichen Grenzwert konvergieren

- die Summe der Teilfolgen

\sum_{n = 1}^{2 k} \frac{(- 1)^{n}}{n}

wandelt man mit einem "Trick" um, der z.B. auch in folgendem Video vorgestellt wird: www.youtube.com/watch?v=ePu3N-Us-fk , richtig?
(hoffe es ist okay den Link zu posten, habe das Video per Googlesuche gefunden und stehe in keinerlei Beziehung zum Uploader)

- anschließend nimmt man von der Summe den Betrag und schätzt den Term mit einem Term ab, der

\geq

ist und der konvergiert und dessen Grenzwert bereits bekannt ist (wie es das Majorantenkriterium eben vorsieht)

- jetzt bin ich mir etwas unsicher: zuvor hat man ja den Grenzwert von der Reihe ausgerechnet mit

lim_{k \to \infty} \sum_{n = 1}^{k} \frac{1}{n ²} = \frac{Π ²}{6}

und nun wird dann der Grenzwert der "einzelnen" Teilfolge

(s_{2 k + 1}) = 0

ausgerechnet.
Und da

\frac{Π ²}{6} - 0 = 0

ist, konvergiert der Nachfolger der Reihe gegen den gleichen Grenzwert, also gegen

\frac{Π ²}{6}

Ist das richtig?

Wie ihr merkt tue ich mich mit der formalen mathematischen Schreibweise noch ziemlich schwer, deshalb die vielen Fragen, möchte das alles aber unbedingt verstehen und verinnerlichen :-)

IPanic aktiv_icon

21:51 Uhr, 07.01.2017

- Sollte die Folge konvergieren, so hat jede Teilfolge der Folge den gleichen Grenzwert wie die Folge.
- Der Grenzwert der Reihe

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}

muss nicht bekannt sein, das Majorantenkriterium verlangt nur die Existenz einer konvergenten Majorante und kein Wissen über deren Grenzwert.
- Wenn du zwei konvergente Folgen komplexer Zahlen hast etwa

(a_{n}), (b_{n})

so ist auch die Summenfolge

(a_{n} + b_{n})

konvergent mit

lim_{n \to \infty} a_{n} + b_{n} = lim_{n \to \infty} a_{n} + lim_{n \to \infty} b_{n}

.

In unserem Fall haben wir bewiesen, dass

{(s_{2 k})}_{k}

konvergiert. Inbesondere ist die Folge

{(- \frac{1}{2 k + 1})}_{k}

konvergent mit

lim_{k \to \infty} - \frac{1}{2 k + 1} = 0

. Dann ist also auch die Summenfolge

(s_{2 k} - \frac{1}{2 k + 1})

konvergent. Das ist aber gerade die Folge

(s_{2 k + 1})

. Also gilt:

lim_{k \to \infty} s_{2 k} = lim_{k \to \infty} s_{2 k + 1} := a \in ℝ

.
Das bedeutet dann, dass zu

ε > 0, n_{0}, n_{1} \in ℕ

existieren mit

| s_{2 k} - a | < ε

für alle

k > n_{0}

und

| s_{2 k + 1} - a | < ε

für alle

k > n_{1}

. Dann ist aber für alle

k > 2 max {n_{0}, n_{1}}

sogar

| s_{k} - a | < ε,

also

(s_{k})

konvergent.

benaddict aktiv_icon

17:46 Uhr, 08.01.2017

Danke vielmals.
Habe deinen letzten Post nochmal zusammen mit den Definitionen Stück für Stück durchgearbeitet und jetzt ist alles klar :-)
Danke auch an pwmeyer und ledum.

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