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Startseite » Forum » Umkehrung Mittelwertsatz der differentialrechnung
Umkehrung Mittelwertsatz der differentialrechnung
Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Analysis
 
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anonymous 20:14 Uhr, 22.10.2006  |
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Hallo Leute, meine erste Nachricht hier im Forum und die Antwort eilt sehr!! Gibt es bei einer differenzierbaren Funktion zu jeder tangente eine parallele Sekante (Umkehrporblem)? Fürhre dafür den Beweis! Kann mir bitte jemand helfen? Tom |
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Hallo, ohne mich tiefer in die Sache hineingedacht zu haben, würde ich sagen: nein! Der Mittelwertsatz sagt ja nur, daß man zwei Punkte hat und den Differenzenquotienten bildet, dann gibt es dazwischen (unter den angegebenen Voraussetzungen für die Funktion) mindestens einen Punkt, an dem die Ableitung (das Differential) gleich dem Differenzenquotienten ist. Wenn man genau nachdenkt, dann kann die Umkehrung nicht für Wendepunkte gelten. Der Anstieg der Tangente nimmt dort einen Extremwert ein (Zweite Ableitung gleich Null und Dritte Ableitung ungleich Null = Erste Ableitung hat Extremstelle). Eine Sekante hat immer einen Anstiegswert zwischen den Anstiegswerten an den beiden Stellen (in einer geeigneten Umgebung), kann diesen Extremwert also nie selbst annehmen. Einfaches Beispiel ist die Funktion f(x)=x^3. Es gibt keine zwei unterschiedlichen Punkte der Kurve (durch die man dann die Sekante legen würde), deren Differenzenquotient gleich Null ist, obwohl an der Stelle x=0 der Anstieg gleich Null ist. Das einzige was man in einer Umkehrung beweisen könnte ist, daß es eine Sekantenschar gibt, deren Grenzwert den selben Anstieg hat wie die Tangente. Aber das ist m.E. eine ganz andere Aufgabe. |
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