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Umkehrung von partiellen Ableitungen

Universität / Fachhochschule

Tags: integrieren, Partielle Ableitung

nudeln2 aktiv_icon

15:40 Uhr, 05.10.2017

Hallo,

ich lerne aktuell etwas zum Thema Kurvenintegrale (gab erst kürzlich ein anderes Thema hierzu von mir hier im Forum). Zu der Theorie, dich ich lerne, würde ich gerne ein konkretes Beispiel durchrechnen. Und dabei bin ich auf ein Problem gestoßen.

Angenommen, ich habe das folgende Vektorfeld:

\vec{v} = (2 x y - x^{2}, x + y)

Hier in transposer Schreibweise. Weiß leider nicht, wie ich die Komponenten untereinander hinschreiben kann mit Latex

: (

Die Vektoren dieses Vektorfelds sollen Gradienten darstellen. Ein derartiges Vektorfeld erhält man, indem man von einem Skalarfeld partielle Ableitungen durchführt.

Das Skalarfeld soll

z

. B.

λ

lauten. Mittels partieller Ableitungen erhält man das Vektorfeld:

\vec{v} = (\frac{\partial}{\partial x} (λ), \frac{\partial}{\partial y} (λ))

Stimmt das soweit? Falls ja, würde mich jetzt interessieren, wie ich den umgekehrten Weg einschlagen kann. Gegeben ist also

\vec{v},

und ich hätte nun gerne die Formel für

λ

.

Wie muss ich denn hier integrieren?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

sprtka aktiv_icon

16:03 Uhr, 05.10.2017

nach dem Satz vom Schwarz darf bei stetig diffbaren Funktionen die Reihenfolge der Ableitungen keine Rolle spielen, wenn du also annimmst, dass eine Funktion

f (x)

existiert, die partiell nach

x

ergibt

2 x y - x

und nach

y

dann

x + y

, müsste, wenn du das erste noch nach

y

und das zweite nach

x

ableitest, das gleiche rauskommen, denn

f_{x, y} = f_{y, x}

, aber

2 x \neq 1

. Es ist also nicht lösbar.
Wäre diese Bedingung erfüllt, könntest du einfach

f (x, y) = \int x + y d y + g (x)

rechnen, dann nach

x

ableiten, mit

2 x y - x^{2}

gleichsetzen und nach g(x) auflösen und einsetzen, fertig.

nudeln2 aktiv_icon

17:06 Uhr, 05.10.2017

Ich glaube, du meinst etwas anderes.

Ich mache keine 2 Ableitungen hintereinander. Ich habe eine Formel für

λ,

und davon mache ich dann einerseits eine Ableitung nach

x,

und andererseits mache ich von

λ

eine Ableitung nach

y

.

Zumindest glaube ich, dass ich das so machen muss, um in diesem Fall vom Skalarfeld auf das Vektorfeld zu kommen.

Einfach mal ein Bsp:

λ = 3 x^{2} + x^{4} ⋆ y^{3} + 9 y^{5}

\frac{\partial λ}{\partial x} = 6 x + y^{3} ⋆ 4 x^{3}

\frac{\partial λ}{\partial y} = x^{4} ⋆ 3 y^{2} + 45 y^{4}

Ich hoffe, das stimmt :-)

Jetzt möchte ich aber den umgekehrten Weg gehen. D.

h

. gegeben sind die Ableitungen und ich möchte

λ

ermitteln.

\int 6 x + y^{3} ⋆ 4 x^{3} d x = 3 x^{2} + y^{3} ⋆ x^{4} + c

\int x^{4} ⋆ 3 y^{2} + 45 y^{4} d y = x^{4} ⋆ y^{3} + 9 y^{5} + c

Wenn ich das addiere (und ignoriere die

c

einfach mal), kommt ein Blödsinn raus:

3 x^{2} + y^{3} ⋆ x^{4} + x^{4} ⋆ y^{3} + 9 y^{5} = 3 x^{2} + 2 ⋆ x^{4} ⋆ y^{3} + 9 y^{5}

Muss also irgendwie anders funktioniere

. .

. aber wie?

DrBoogie aktiv_icon

17:20 Uhr, 05.10.2017

"Ich glaube, du meinst etwas anderes."

Nein, meint sie nicht.
Es gibt kein

λ

, das so ein

\vec{v}

als Gradient ergibt.
Nicht jedes

\vec{v}

ist als Gradient darstellbar.

nudeln2 aktiv_icon

17:25 Uhr, 05.10.2017

Ah, ok, ich glaube, ich verstehe diesen vorletzten Eintrag.

Aber hilft mir das grundsätzlich weiter, damit ich weiß, wie ich von partiellen Ableitungen zurück zur Stammfunktion komme?

Mit dem Integral von sprtka kann ich leider nichts anfangen. Könntet ihr mir das noch näher erklären bitte? Wie würde das bei meinem Beispiel aussehen? Hat diese Vorgehensweise irgendeinen bestimmten Namen? Dann könnte ich das auch im Internet nachlesen.

DrBoogie aktiv_icon

17:29 Uhr, 05.10.2017

"Wenn ich das addiere (und ignoriere die c einfach mal), kommt ein Blödsinn raus"

Ja, weil es zweimal Blödsinn ist - erstmal addieren und dann c ignorieren.

Richtig wäre:

6 x + y^{3} 4 x^{3}

nach

x

integrieren:

\int (6 x + y^{3} 4 x^{3}) d x = 3 x^{2} + y^{3} x^{4} + c (y)

- WICHTIG, dass

c

eine Funktion von

y

ist.

Und jetzt das nach

y

ableiten:

3 y^{2} x^{4} + c^{ʹ} (y)

und das jetzt muss

x^{4} 3 y^{2} + 45 y^{4}

sein.
Also hast Du

c^{ʹ} (y) = 45 y^{4}

und musst nur das lösen.

nudeln2 aktiv_icon

17:39 Uhr, 05.10.2017

OK, habs, danke :-)

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