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Umkreismittelpunkt eines Dreiecks berechnen

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Sonstiges

Tags: Sonstiges

dreamerkid aktiv_icon

13:57 Uhr, 22.07.2010

Hallöli,

ich bin grad beim lernen bei folgender Aufgabe hängen geblieben.

Und zwar soll ich den Umkreismittelpunkt im Dreieck A=(0,0), B=(4,2) und C=(0,6) bestimmen.

Ich hab schon nach ner Formel gesucht, wo man die Werte vielleicht einsetzen kann, aber leider nichts gefunden.

Könnte mir da jemand helfen ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Yokozuna aktiv_icon

14:34 Uhr, 22.07.2010

Hallo!

Der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.

Zur Berechnung des Schnittpunktes genügen aber auch schon zwei Mittelsenkrechte.

Also wäre die Vorgehensweise folgende:

1. Geradengleichungen für die beiden Mittelsenkrechten bestimmen.

2. Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten berechnen.

Kommst Du damit weiter?

dreamerkid aktiv_icon

14:47 Uhr, 22.07.2010

Hmm ja ein wenig, könntest du mir zeigen wie man die

Geradengleichung einer Mittelsenkrechten bestimmt ,

also z.B für die Mittelsenkrechte von AB ?

Wäre echt nett

BjBot aktiv_icon

15:08 Uhr, 22.07.2010

Z.B. so:

http//www.learnline.nrw.de/angebote/selma/foyer/projekte/koelnproj1/bausteine/bst4-1-2.htm

Yokozuna aktiv_icon

15:14 Uhr, 22.07.2010

$\vec{A B} = (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) \Rightarrow \frac{1}{2} \vec{A B} = \frac{1}{2} \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})$

Der Mittelpunkt der Mittelsenkrechten ist damit

$\vec{M_{A B}} = \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{A B} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})$ .

Die Geradengleichung der Mittelsenkrechten sieht dann so aus:

$g_{M_{A B}} : \vec{x} = \vec{M_{A B}} + λ \cdot \vec{n_{A B}}$

wobei $\vec{n_{A B}}$ senkrecht auf dem Vektor $\vec{A B}$ oder $\vec{M_{A B}}$ stehen soll. Im zweidimensionalen Raum ist es ganz einfach, sich zu einem Vektor einen dazu senkrechten Vektor zu basteln. Haben wir z.B. einen Vektor $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ , dann ist $(\begin{matrix} b \\ - a \end{matrix})$ oder $(\begin{matrix} - b \\ a \end{matrix})$ ein zu $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ senkrechter Vektor, denn es gilt: $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b \\ - a \end{matrix}) = a \cdot b + b \cdot (- a) = a \cdot b - a \cdot b = 0$ .

Also:

$g_{M_{A B}} : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix})$

dreamerkid aktiv_icon

15:46 Uhr, 22.07.2010

Ahh, ok dann probier ich das gleich nochmal mit der anderen Mittelsenkrechten, eine kleine Frage hab ich jedoch noch und zwar

${\vec{M}}_{A B} = \vec{O} A + \frac{1}{2} \vec{A B}$ ...

was heißt das $\vec{O} A$ und woher krieg ich das ?

Ach und ich das imma OA ?

Yokozuna aktiv_icon

15:55 Uhr, 22.07.2010

Also

\vec{O} A

ist ganz einfach der Vektor vom Ursprung zum Punkt A. Hier ist zufällig

\vec{O} A = (0 | 0),

aber ich habe ihn trotzdem hingeschrieben, weil das ja nicht immer so ist.

Z . B

. den Mittelpunkt der Seite BC kriege ich mit

\vec{O} B + \frac{1}{2} \cdot \vec{B} C

und da ist eben

\vec{O} B

nicht gleich

(0 | 0)

dreamerkid aktiv_icon

16:13 Uhr, 22.07.2010

Achso das heißt OA ist dann einfach nur A oder ?

dreamerkid aktiv_icon

16:24 Uhr, 22.07.2010

Ok also für die Mittelsenkrechte von BC hab ich :

$\overset{⇀}{x} : (_{4}^{2}) + λ \cdot (_{- 2}^{4})$ is das richtig ?

Yokozuna aktiv_icon

16:24 Uhr, 22.07.2010

Genau. Ich wollte halt überall die gleiche Schreibweise verwenden:

\vec{A} B, \vec{O} A

etc.

Z . B

. ist dann

\vec{O} B

einfach

\vec{B}

dreamerkid aktiv_icon

16:26 Uhr, 22.07.2010

ah ok gut

und für den Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten,

muss ich sie gleichsetzten ? Wenn ja, und

dann ? wenn nein, wie denn ?

Yokozuna aktiv_icon

16:53 Uhr, 22.07.2010

Für die 2. Mittelsenkrechte erhält man

z . B

. (ich weiß nicht ob die so richtig ist):

\vec{x} = (0 | 3) + μ \cdot (- 3 | 0)

Dann setzt man die beiden Geradengleichungen einander gleich:

(2 | 1) + λ \cdot (1 | - 2) = (0 | 3) + μ \cdot (- 3 | 0)

Wenn man das Zeilenweise hinschreibt, hat man 2 Gleichungen für die beiden Unbekannten

λ

und

μ

. Danach brauche ich das gefundene

λ

nur in die entsprechende Geradengleichung einsetzen und bekomme den Schnittpunkt der beiden Geraden. Zur Probe kann man auch noch mal das

μ

in die andere Geradengleichung einsetzen. Da muß dann der gleiche Schnittpunkt herauskommen.

dreamerkid aktiv_icon

16:55 Uhr, 22.07.2010

ahh ok , dann probier ich es gleich mal

dreamerkid aktiv_icon

17:04 Uhr, 22.07.2010

Hat geklappt :) und dieser Schnittpunkt ist dann schon der

Umkreismittelpunkt ?

Yokozuna aktiv_icon

17:04 Uhr, 22.07.2010

Ich bin schon ganz gespannt auf den Schnittpunkt!

dreamerkid aktiv_icon

17:06 Uhr, 22.07.2010

Hab für den Schnittpunkt (0,5) raus :)

und das is dann auch der Umkreismittelpunkt?

Yokozuna aktiv_icon

17:14 Uhr, 22.07.2010

Das wäre der Umkreismittelpunkt, wenn Du Dich nicht verrechnet hättest. Male Dir doch mal auf einem karierten Papier ein Koordinatensystem, trage die drei Punkte

A, B

und

C

ein und zeichne das Dreieck (das muß nicht sauber mit dem Lineal sein, nur so ungefähr). Und dann zeichne Dir mal Deinen gefundenen Punkt ein. Der liegt doch ziemlich nahe an C. Er sollte aber von allen drei Punkten

A, B

und

C

gleich weit entfernt sein. Also schau nochmal, ob Du den Fehler selbst findest, wenn nicht, dann schreib hier auf, was Du gerechnet hast. Dann kann ich mir das mal anschauen.

dreamerkid aktiv_icon

17:34 Uhr, 22.07.2010

hmm vielleicht ist dann meine zweite Mittelsenkrechte falsch,

weil als ich den Mittelpunkt der beiden Senktechten ausgerechnet hab,

ist für beide Werte eingesetzt auf beiden Seiten der gleiche Punkt

rausgekommen, so wie es sein sollte

ich hab mal meine Rechnung angehängt

Yokozuna aktiv_icon

17:42 Uhr, 22.07.2010

Bei der Geradengleichung für die Mittelsenkrechte auf

\vec{B} C

stimmt der Normalenvektor nicht. Der Normalenvektor muß senkrecht auf

\vec{B} C

stehen und der ist ja

(- 4 | 4)

dreamerkid aktiv_icon

17:47 Uhr, 22.07.2010

oh, hmm was hab ich denn da falsch gemacht, könntest du nochmal zeigen wie du den berechnet hast

dreamerkid aktiv_icon

18:03 Uhr, 22.07.2010

vielleicht sag ich dir nochma wie ich die mittelsenkrechte berechnet hab:

also von BC hab ich

erstmal BC=C-B=(-4/4) berechnet, dann davon 1/2BC=(-2/2)

und das dann in Mbc=OB+1/2BC = (4/2)+(-2/2) eingesetzt

dann hatte ich für Mbc=(2/4) und dieses dann in

gmb,a: x= (2/4) + $λ \cdot$ nAB

nAB dachte ich ist einfach bei (a/b) = (b/-a) da hatte ich für

(a/b)= Mbc=(2/4) genommen und daraus wurde dann (4/-2)

somit bin ich dann auch

x: (2/4) + $λ \cdot$ (4/-2)

Oder hätt ich bei nAB statt Mbc nur BC nehmen sollen ?

Yokozuna aktiv_icon

18:05 Uhr, 22.07.2010

Also

\vec{B} C = (0 | 6) - (4 | 2) = (- 4 | 4)

. Dann ist ein zu diesem Vektor senkrechter Vektor

(4 | 4)

. Die Geradengleichung wäre dann:

\vec{x} = (2 | 4) + μ \cdot (4 | 4)

Yokozuna aktiv_icon

18:43 Uhr, 22.07.2010

Offenbar ist es für Dich doch nicht so einfach mit den Geraden. Es gibt noch eine andere Möglichkeit, den Mittelpunkt des Umkreises zu bestimmen. Die Kreisgleichung lautet ja

{(\vec{x} - \vec{M})}^{2} = r^{2}

. Die drei Punkte

A, B

und

C

müssen alle auf dem Kreis liegen. Also setzen wir die drei Punkte in die Kreisgleichung ein und erhalten drei Gleichungen für die drei Unbekannten

M_{x}, M_{y}

und

r,

wobei uns hauptsächlich

M_{x}

und

M_{y}

interessiert. Man muß also nur noch die drei Gleichungen auflösen und ist fertig (das sieht am Anfang nach quadratischen Gleichungen aus, aber die quadratischen Terme fallen alle heraus). Vielleicht liegt Dir diese Lösungsmöglichkeit besser.

Shipwater aktiv_icon

20:19 Uhr, 22.07.2010

Als weitere Möglichkeit bietet sich an, ohne Vektoren zu arbeiten. (siehe hierzu auch BjBots Link)

dreamerkid aktiv_icon

21:10 Uhr, 26.07.2010

Ich wollt grad mal diese Variante ausprobieren, jedoch weiß ich

nicht genau wie ich die Punkte A,B,C da jetzt einsetze ?

dreamerkid aktiv_icon

22:35 Uhr, 26.07.2010

Ich hab mir diese Seite angeguckt , aber versteh den Teil nicht, wie mann die Mittelsenkrechte bestimmt, da in der Gleichung versteh ich nicht so ganz wo manche Werte her kommen,

könntest du mir vielleicht nochmal sagen wie man die Mittelsenkrecten bestimmt, bzw. die Gleichung der mittelsenkrechten

Wäre echt nett

Yokozuna aktiv_icon

23:42 Uhr, 26.07.2010

Ich möchte Dir den Vorschlag machen, es mit dem Satz des Pythagoras zu versuchen. Wir suchen den Mittelpunkt

M (x_{m} | y_{m})

des Umkreises. Dieser Mittelpunkt muß von den drei gegebenen Punkten

A (0 | 0), B (4 | 2)

und

C (0 | 6)

jeweils den gleichen Abstand

r

haben, also

| \vec{M} A | = r, | \vec{M} B | = r

und

| \vec{M} C | = r

. Den Abstand von

M

zu jedem der drei Punkte berechnen wir mit dem Satz des Pythagoras, denn der horizontale Abstand von

M

zu einem der drei Punkte, der vertikale Abstand und

r

bilden jeweils ein rechtwinkliges Dreieck, für das

z . B

. für Punkt A gilt

: {(x_{m} - x_{A})}^{2} + {(y_{m} - y_{A})}^{2} = r^{2}

. Ich schreibe jetzt die drei Gleichungen für die 3 Punkte mal ganz konkret hin:

A : {(x_{m} - 0)}^{2} + {(y_{m} - 0)}^{2} = r^{2}

B : {(x_{m} - 4)}^{2} + {(y_{m} - 2)}^{2} = r^{2}

C : {(x_{m} - 0)}^{2} + {(y_{m} - 6)}^{2} = r^{2}

Jetzt ersetze ich die rechte Seite von A und

B

durch die linke Seite von

C :

A' : {(x_{m} - 0)}^{2} + {(y_{m} - 0)}^{2} = {(x_{m} - 0)}^{2} + {(y_{m} - 6)}^{2}

B' : {(x_{m} - 4)}^{2} + {(y_{m} - 2)}^{2} = {(x_{m} - 0)}^{2} + {(y_{m} - 6)}^{2}

Dadurch haben wir

r^{2}

eliminiert und es bleiben noch 2 Gleichungen für

x_{m}

und

y_{m}

übrig. Mit dem binomischen Lehrsatz lösen wir die Klammern auf:

A' : x_{m}^{2} + y_{m}^{2} = x_{m}^{2} + y_{m}^{2} - 12 \cdot y_{m} + 36

B' : x_{m}^{2} - 8 \cdot x_{m} + 16 + y_{m}^{2} - 4 \cdot y_{m} + 4 = x_{m}^{2} + y_{m}^{2} - 12 \cdot y_{m} + 36

Jetzt stehen in beiden Gleichungen auf beiden Seiten die gleichen quadratischen Terme, so daß diese herausfallen:

A' : 0 = - 12 \cdot y_{m} + 36

B' : - 8 \cdot x_{m} + 16 - 4 \cdot y_{m} + 4 = - 12 \cdot y_{m} + 36

Wir haben jetzt 2 lineare Gleichungen für

x_{m}

und

y_{m},

die leicht aufzulösen sind.

dreamerkid aktiv_icon

00:13 Uhr, 27.07.2010

Hab ich das richtig ausgerechnet, dass der

Schnittpunkt dann (1,3) und somit der

Umkreismittelpunkt ist ?

Yokozuna aktiv_icon

00:15 Uhr, 27.07.2010

Ja, das ist der Umkreismittelpunkt!

dreamerkid aktiv_icon

11:18 Uhr, 27.07.2010

Ich hab doch nochmal eine Frage zu ersten Variante und

zwar bei der Geradengleichung der Mittelsenkrechten haben

wir sie ja am Ende in Parameterform, wie krieg ich denn die

Normalform bzw. die Form wie z.B f(x)=2x-3 oder so ?

Yokozuna aktiv_icon

11:39 Uhr, 27.07.2010

Beispiel: $\vec{x} = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}) \Rightarrow$

$x = 2 + λ \cdot 1 \land y = - 1 + λ \cdot 3$

Die erste Gleichung löst man nach $λ$ auf:

$λ = x - 2$

und setzt dieses in die 2. Gleichung ein:

$y = - 1 + (x - 2) \cdot 3 = - 1 + 3 \cdot x - 6 = 3 \cdot x - 7$

dreamerkid aktiv_icon

12:34 Uhr, 27.07.2010

Hmm ok, das hab ich verstanden, ich hab trotzdem noch ein Problem

und zwar sind das jetzt doch die Gleichungen der Mittelsenkrechten stimmts, und um den Umkreismittelpunkt zu ermitteln, muss ich ja den schnittpunkt der Mittelsenkrechten berechnen oder ?

Also hab ich jetzt die beiden Gleichungen der Mittelsenkrechten gleichgesetzt um den Schnittpunkt auszurechnen.

Die beiden Punkte die ich da raus habe stimmen aber irgendwie nicht,

ich hatte z.B für die Werte A(0,0), B(2,4) und C(-1,3) die Lösung des

Umkreismittelpunktes nämlich M=(1,2) vorgegeben, wenn ich das aber so mache wie beschrieben komm ich auf M=(-1/5,8/5) :(

Yokozuna aktiv_icon

13:33 Uhr, 27.07.2010

Tja, wenn Dein Ergebnis nicht stimmt, liegt der Verdacht nahe, daß Du Dich bei der Aufstellung der Gleichungen für die Mittelsenkrechten und/oder bei der Berechnung des Schnittpunktes der beiden Mittelsenkrechten verrechnet hast. Da Du uns Deinen Rechenweg nicht mitgeteilt hast, ist es leider nicht möglich zu sagen, wo der Fehler passiert ist. Ich sage Dir jetzt mal, wie ich das gerechnet habe und dann kannst Du das mit Deiner Lösung vergleichen.

Punkte A(0|0), B(2|4), C(-1|3)

$\vec{m_{A B}} = \vec{A} + \frac{1}{2} \cdot (\vec{B} - \vec{A}) + λ \cdot \vec{n_{A B}} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) + \frac{1}{2} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 4 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 4 \\ - 2 \end{matrix})$

$\vec{m_{A C}} = \vec{A} + \frac{1}{2} \cdot (\vec{C} - \vec{A}) + λ \cdot \vec{n_{A C}} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) + \frac{1}{2} \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix})$

Ich eliminiere jetzt mal $λ$ bzw. $μ$ , damit wir auf die Form der Geradengleichung kommen, die Du bevorzugst:

$\vec{m_{A B}} : x = 1 + 4 \cdot λ \land y = 2 - 2 \cdot λ \Rightarrow λ = \frac{1}{4} \cdot (x - 1) \Rightarrow y = 2 - 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot (x - 1) = - \frac{1}{2} \cdot x + \frac{5}{2}$

$\vec{m_{A C}} : x = - \frac{1}{2} + 3 \cdot μ \land y = \frac{3}{2} + μ \Rightarrow μ = \frac{1}{3} \cdot (x + \frac{1}{2}) \Rightarrow y = \frac{3}{2} + \frac{1}{3} \cdot (x + \frac{1}{2}) = \frac{1}{3} \cdot x + \frac{5}{3}$

Die beiden Geraden lauten also:

$y = - \frac{1}{2} \cdot x + \frac{5}{2}$ und $y = \frac{1}{3} \cdot x + \frac{5}{3}$

Wir setzen gleich:

$- \frac{1}{2} \cdot x + \frac{5}{2} = \frac{1}{3} \cdot x + \frac{5}{3} | \cdot 6 \Rightarrow$

$- 3 \cdot x + 15 = 2 \cdot x + 10 \Rightarrow - 5 \cdot x = - 5 \Rightarrow x = 1$

Wenn man dieses x in eine der beiden Geradengleichungen einsetzt, erhält man: $y = 2$

Die Koordinaten des Umkreismittelpunktes sind also (1|2).

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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