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Umlaufbahnberechnung

Schüler Berufskolleg, 10. Klassenstufe

Tags: Umlaufbahnberechnung

bangy aktiv_icon

15:56 Uhr, 06.09.2009

Die Planeten Merkur, Venus und Erde bewegen sich auf annähernd kreisförmigen Bahnen um die Sonne. Die Erde benötigt

365

Tage, die Venus mehr als 200Tage aber weniger als die Erde und der Merkur 88Tage für einen Umlauf. Nach 2200Jahren wiederholt sich die abgebildete Konstellation erstmals.

Wie viele Tage benötigt die Venus für einen Umlauf?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

lepton

01:07 Uhr, 07.09.2009

Um die Umlaufzeit des Venus ermitteln zu können, muss die Bedingung

F_{R} = F_{G}

gelten.

F_{R} = \frac{m_{v}}{R_{v}'} \cdot {(ν_{v})}^{2}

(Radialkraft)

\land F_{G} = f \cdot \frac{M_{s} \cdot m_{v}}{{(R_{v}')}^{2}}

(Gravitationskraft)

\Rightarrow \frac{m_{v}}{R_{v}'} \cdot {(ν_{v})}^{2} = f \cdot \frac{M_{s} \cdot m_{v}}{{(R_{v}')}^{2}}

Bezeichnung der Größen:

m_{v} =

Masse Venus

ν_{v} =

mittlere Bahngeschwindigkeit Venus um die Sonne

R_{v}' =

mittlere Radius Venus von der Sonne

f =

Gravitationskonstante

\Rightarrow 6,673 \cdot 10^{- 11} \cdot

m^3/(kg*s^2)

M_{s} =

Masse Sonne

T_{v} =

Umlaufzeit des Venus um die Sonne

Da wir ja hier eine gleichförmige Kreisbewegung haben, können wir

ν_{v}

=Strecke/Zeit=Kreisumfang/Umlaufzeit ausdrücken.

\Rightarrow ν_{v} = \frac{2 \cdot π \cdot R_{v}'}{T_{v}} \in F_{R} = F_{G}

einsetzen

\Rightarrow \frac{4 \cdot π^{2} \cdot {(R_{v}')}^{2}}{{(T_{v})}^{2}} = f \cdot \frac{M_{s}}{R_{v}'}

\Rightarrow T_{v} = \sqrt{\frac{4 \cdot π^{2} \cdot {(R_{v}')}^{3}}{f \cdot M_{s}}} = 19.405 . 894,18 s = 224,61 d \approx 225 d

Ich habe jetzt hier zwar ausnahmsweise bei der Berechnung die Einheiten weggelassen, aber man sollte bei physikalischen Aufgaben IMMER mit Einheiten rechnen und deshalb solltest du auch diese Aufgabe mit Einheiten nachrechnen!

DK2ZA aktiv_icon

14:10 Uhr, 07.09.2009

Eine bestimmte Konstellation von Erde und Merkur wiederholt sich nach einer Zeit

t,

in der jeder der beiden Planeten eine ganze Zahl von Umläufen um die Sonne gemacht hat. Also ist

t = a \cdot 88 d = b \cdot 365 d,

wobei a und

b

natürliche Zahlen sind

(d =

Tage).

Der kleinste Zahlenwert von

t

ist das kleinste gemeinsame Vielfache von

88

und

365

. Dieses ergibt sich mit Hilfe der Primfaktorzerlegung von

88

und

365 :

88 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11

365 = 5 \cdot 73

kgV(88;365)

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 73 = 32120

Nach

t = 32120

Tagen

= 88

Jahren hat Merkur die Sonne

365

mal umrundet, die Erde natürlich

88

mal und beide befinden sich in der gleichen Konstellation wie zuvor. Das wiederholt sich dann alle

88

Jahre.

Nun kommt die Venus ins Spiel.

Ihre Umlaufzeit beträgt

v

Tage und für alle drei Planeten wiederholt sich eine bestimmte Konstellation nach

2200

Jahren

= 803000

Tagen. Gleiche Rechnung wie oben:

88 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11

v =

?????

365 = 5 \cdot 73

kgV(

88; v; 365) = 803000 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 73

Welcher Wert kommt für

v

in Frage

(200 d < v < 365 d)

?

Die Primfaktorzerlegung von

v

muss

5 \cdot 5 \cdot 5

enthalten, denn sonst enthielte die Zerlegung von

803000

nicht dreimal die 5. Damit ist

v

schon mal

125 d

. Es sollen aber mehr als

200 d

sein. Also nehmen wir noch eine von den 2en und erhalten

250 d

. Mehr darf es nicht sein, um unter

365 d

zu bleiben.

Damit ist

v = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 250

Tage.

GRUSS, DK2ZA

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