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Umlaufzahl prüfen mit Zeichnung
Universität / Fachhochschule
Funktionentheorie
Tags: Funktionentheorie, Umlaufzahl
 
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Hi, ich kann die Umlaufzahl nicht wirklich nachvollziehen. Wenn es ein Punkt in einem Kreis ist, dann ist mir klar, dass bei einer vollen Runde gegen den Uhrzeigersinn der Punkt im Kreis einmal umlaufen wird und damit die Umlaufzahl 1 ist. Liegt der Punkt außerhalb des Kreises, dann ist die Umlaufzahl Null, da man den Punkt ja nicht umläuft. Ich habe mir einen vollen Umlauf so gemerkt: Man sucht sich für einem Punkt, der von einem Weg umlaufen wird. einen StartPunkt auf dem Weg. Jetzt folgt man dem Verlauf des Weges so lange, bis man wieder am Startpunkt ist. Damit hat man einen Umlauf zurückgelegt. In dem Bild, das ich gelb und rot markiert habe gibt es bei einem Umlauf des Weges, also wenn man den ganzen Weg einmal abgeht aber 3 Umlaufzahlen. -1,1,1 Ich habe den Eindruck, dass Umlaufzahl und eine volle Umrundung eines Punktes 2 verschiedene Dinge sind?? Und ich finde keine Formel um die Umlaufzahl zu berechnen. Mit der Definition der Umlaufzahl kann man sie nur sehr sehr schwer berechnen. Wie kann man die Umlaufzahl einfach berechnen??   Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, bei der Umlaufzahl handelt es sich um eine Umrundung mit Orientierung. D.h., wenn du einen Punkt entgegen des Uhrzeigersinns umläufst, wird die Umlaufzahl +1 gerechnet, wird ein Punkt mit dem Uhrzeigersinn umlaufen, dann -1. Die Umlaufzahl eines Punktes ist dann anschließend die Summe aller dieser Umrundungen, d.h. gegenläufige Umrundungen können sich aufheben. Wenn man eine geschlossene (orientierte) Kurve in betrachtet, dann gibt es eine Formel zur Berechnung: für Aber dein Bild scheint mir eine andere Möglichkeit zur Berechnung der Umlaufzahl zu zeigen. Du legst nämlich vom Punkt eine Halbgerade in das Gebiet außerhalb der Kurve, die die Kurve nicht tangential oder in einem Doppelpunkt schneidet. Dann betrachtest du die Schnittpunkte der Kurve mit dieser Halbgeraden. Schneidet die Kurve die Halbgerade von rechts nach links (von aus gesehen), dann bekommt der Schnittpunkt den Wert . Schneidet die Kurve die Halbgerade von links nach rechts, dann . Die Umlaufzahl ist dann einfach die Summe aller dieser Werte. Das ist allerdings nur eine Vermutung ohne dass ich es jetzt sofort beweisen könnte. Klingt aber nach der mir bekannten Definition der Umlaufzahl plausibel. Viele Grüße Sina |
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Danke für die Antwort Sina. Das Problem ist, dass die Berechnung mit der Formel sehr lange dauern kann. Und wir haben ständig nur Kreise gegeben. Ich habe gerade das untrige Bild entdeckt. Hier legt man eine Tangente an den Punkt (ich nenne ihn mal z), der auf er Kurve herumläuft an. Und jetzt zählt man, wie oft diese Tangente beim Durchlauf der Kurve einen Kreis um den Punkt z durchläuft. Das Bild beschreibt das besser, als ich es aufschreiben kann. Aber so müßte das mit der Umlaufzahl doch funktionieren oder? Ich probiere das gleich an Beispielen aus.  |
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Geometrisch habe ich das jetzt verstanden, wenn meine Tangentenvektoren richtig gezeichnet sind. Ich habe die 1/4 Pi weggelassen. Es wäre schön, wenn jetzt jemand noch eine Mathematische Beschreibung davon hätte. Unser Prof hat das mit den Tangentialvektoren nie angeschnitten. Ohne die Tangentialvektoren würde ich immer noch sagen, dass die 8 die Umlaufzahl 1 hat. |
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Geometrisch habe ich das jetzt verstanden, wenn meine Tangentenvektoren richtig gezeichnet sind. Ich habe die 1/4 Pi weggelassen. Es wäre schön, wenn jetzt jemand noch eine Mathematische Beschreibung davon hätte. Unser Prof hat das mit den Tangentialvektoren nie angeschnitten. Ohne die Tangentialvektoren würde ich immer noch sagen, dass die 8 die Umlaufzahl 1 hat.  |
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Hallo Tommy, ich fürchte, du wirfst da gerade etwas durcheinander. Die Umlaufzahl mit den Tangentialvektoren ist die Umlaufzahl einer Kurve, was du oben beschrieben hast, war die Umlaufzahl eines Punktes der nicht auf der Kurve liegt, durch die Kurve. Das sind zwei verschiedene Dinge. Die geometrische Interpretation für deine Umlaufzahl ist ein Vektor, der vom Punkt (welcher nicht auf der Kurve liegt) zu einem Punkt auf der Kurve führt (meistens normiert man diesen dann noch). Dann lässt man diesen Punkt auf der Kurve (und den entsprechenden Vektor) die Kurve entlanglaufen. Die Umlaufzahl des Punktes ist dann der Winkel, um den der Vektor beim durchlaufen der gesamten Kurve ausgelenkt wurde, geteilt durch . Wie gesagt, ich glaube, dass diese Methode mit der Halbgeraden ein schneller Weg ist, die Umlaufzahl zu bestimmen. Ich meine mich auch daran erinnern zu können, das mal gemacht zu haben, aber ich finde meine Aufzeichnungen nicht mehr. Dann musst du nicht mit der umständlichen Definition arbeiten. Vlt wurde so etwas ja mal in der VL erwähnt... Lieben Gruß Sina |
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Leider ist unser Prof extrem von Störenfrieden in der Vorlesung genervt. An der Tafel steht nur noch Definition, Satz, Beweis. Keine Beispiele nix mehr. Ich habe noch mal 2 Bilder angehängt, wenn die richtig sind, dann habe ich Deine Erklärung ja verstanden??   |
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