Umrechnung Divergenz in Zylinderkoordinaten

Hallo liebe Leute,

Muss für die Uni folgendes berechnen:

Es sei A ein beliebiges Vektorfeld. Berechnen Sie ${\displaystyle \nabla \cdot \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ in zylindrischen und ${\displaystyle \nabla \times \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$
in sphärischen Koordinaten.

Zum ersten Teil (ich nehme an, wenn ich da den Ansatz verstehe, geht der zweite Teil auch): wie mache ich das? Ich weiß, dass

x= ${\displaystyle \mathrm{\rho <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ cos (${\displaystyle \mathrm{\psi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$)

y= ${\displaystyle \mathrm{\rho <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ sin (${\displaystyle \mathrm{\psi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$)

z=z

Wie muss ich jetzt was wonach ableiten? Meine neuen Argumente sind ${\displaystyle \mathrm{\rho <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$=${\displaystyle \sqrt{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}}$, ${\displaystyle \mathrm{\psi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ als Winkel zwischen ${\displaystyle \mathrm{\rho <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ und der x-Achse und z als der Höhe. Aber die Divergenz ist ja definiert als Ableitung nach x, y und z (und dann die Addition davon) - oder ist sie definiert als die Ableitung nach den jeweiligen Argumenten? Wie fange ich da an? Ich bin wirklich planlos, weil ich ja nicht einfach ${\displaystyle \mathrm{\rho <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ cos (${\displaystyle \mathrm{\psi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$) nach x ableiten kann - x kommt ja da gar nicht vor. Bitte helft mir beim Ansatz.

Danke im Voraus

Hallo,

die Herleitung von ${\displaystyle \nabla \cdot \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ in Zylinderkoordinaten ist eine ziemlich längliche Rechnerei, die aber sehr gut auf der Seite www.menkuec.de/benjamin/files/divergenz_herleitung_zylinder.pdf erklärt wird. Wenn Du diese Herleitung verstanden hast, kannst Du Dir bestimmt selber auch ${\displaystyle \nabla \times \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ in sphärischen Koordinaten herleiten (ist wahrscheinlich eine noch länglichere Rechnerei).

Viele Grüße

Yokozuna

vielen dank! ist wirklich elendsviel schreibarbeit, aber so funktioniert's.

lg

novalis