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Umrechnung kovariante in kontravariante Vektorbasi

Universität / Fachhochschule

Tags: kontravariant, kovariant, Vektorraum

nudeln2 aktiv_icon

11:19 Uhr, 07.07.2017

Hallo!

Ich komme leider bei einem Vorlesungsvideo nicht weiter.

Es geht um Vektoren. Und zwar um die Umrechnung von einer kovarianten Vektorbasis in eine kontravariante Vektorbasis. Hört sich wild an, aber im Grunde genommen steht ein kontravarianter Basisvektor immer senkrecht auf 2 kovariante Basisvektoren.

www.youtube.com/watch?v=XBMRx4rXPPg Es geht um die ersten

10

Minuten. Bei

9 : 50

schreibt der Prof dann etwas an, das ich nicht verstehe:

{\vec{g}}^{3} \cdot {\vec{g}}_{3} = 1

Die beiden zuvor angeschriebenen dot-Produkte sind mir klar, aber warum ist dieses dot-Produkt 1? Ergibt sich das vielleicht irgendwie aus den anderen beiden Formeln? Ist diese dritte Formel womöglich nur eine redundate Definition?

Oder muss ich hier irgendwie anders denken? Definieren die ersten beiden Formeln die Richtung, und die dritte Formel definiert den Betrag von

{\vec{g}}^{3}

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

12:30 Uhr, 07.07.2017

Hallo
es ist eine zusätzliche Forderung, die die Vektoren der Basis normiert. um sie eindeutig zu machen. (jedes vielfache eines Vektors, der die ersten 2 Gleichungen erfüllt, würde die ja auch erfüllen)
Gruß ledum

nudeln2 aktiv_icon

12:39 Uhr, 07.07.2017

Sucht man im Google nach eine PDF zum Thema "Einführung in die Tensorrechnung" findet man ein Dokument vom Springer-Verlag (ist bei mir der dritte Eintrag in der Google-Trefferliste).

Wenn ich das richtig verstanden habe, erfüllt das dritte dot-Produkt 2 Funktionen:

1)

Setzt man ein dot-Produkt auf 0 (so wie bei den beiden ersten Formeln), dann ist die Richtung von

{\vec{g}}^{3}

noch nicht vollständig definiert. In einem 3D-Raum gäbe es dann 2 Möglichkeiten. In beiden Varianten wäre der Winkel zu

{\vec{g}}_{1}

bzw

{\vec{g}}_{2}

90°.

{\vec{g}}^{3}

könnte nach "oben" oder nach "unten" zeigen.

Indem man das dritte dot-Produkt auf 1 setzt, wählt man nun eine dieser beiden Seiten aus, nämlich jene, auf der sich

{\vec{g}}_{3}

befindet. (Bei

- 1

wäre es die entgegengesetzte Seite).

Daraus erkennt man dann den genauen Winkel von

{\vec{g}}^{3}

auf

{\vec{g}}_{3}

2)

Da man den Winkel kennt, kennt man dann auch den Betrag von

{\vec{g}}^{3}

ausrechnen. Im

3 D

kenne ich die Formel zwar nicht, im

2 D

ist das aber leicht erkennbar mittels der Formel:

| {\vec{g}}^{3} | \cdot | {\vec{g}}_{3} | \cdot

cos(Winkel zw. den beiden Vektoren)

= 1

Habe ich das richtig verstanden?

nudeln2 aktiv_icon

12:40 Uhr, 07.07.2017

Vielen Dank, ledum :-)

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