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Umrechnung von Geo-Koordinaten auf eine Kugel

Schüler

Tags: Breitengrad, Kugelkoordinaten, Längengrad, Umrechnung

RoWaLo aktiv_icon

20:28 Uhr, 28.02.2022

Schönen Guten Tag,

Ich bin Rentner und aktiv im Umweltschutz.
Ich muss dabei sagen ich habe keine höhere Mathematik studiert aber hoffe darauf, dass wenn mir jemand gut erklärt wie man eine Aufgabe berechnet, ich dem folgen kann.

Mein Vorhaben:
Ich habe eine Kugel mit einem Durchm. von

1.2 m

gebastelt, die später als Globus dienen soll.
Jetzt habe ich vor, die Koordinaten der Grenzen der Kontinente auf die Oberfläche
der Kugel zu bringen / übertragen.
Hierzu habe ich mir eine Excel-Tabelle erstellt in der ich eine bereits eine große Menge an Koordinaten (Längengrad und Breitengrad in Grad (°) ) eingetragen habe (Quelle = Google Maps)

Jetzt geht es um die Umrechnung der "abgegriffenen"
Breitengrade

- - - -

in ein cm Ergebnis für die Oberfläche der Kugel gemessen vom Äquator
Längengrade

- - -

in ein cm Ergebnis für die Oberfläche der Kugel gemessen von Längengrad 0°

Meine Schwierigkeit liegt darin, dass ich nicht weiß, wie ich das hinbekomme weil
sich ja die Umfänge 1 bis

X

für (oder auf) den

X

Breitengraden verändern.
und damit verbunden für die Längengrade der Abstand vom Längengrad 0°

Können Sie mir vielleicht helfen wie - mit welchen (Mathe) Formeln - ich das berechnen,
übertragen kann. Ich denke, dass ich hinbekomme dann die Formel in Excel anzuwenden.

Also vorhanden:
Durchmesser der Kugel

= 120

- - - - -

und die ca

700

Koordinaten von Google-Maps

der Umfang ist ja berechenbar

U = d x

¶
- das gilt horizontal also für den Breitengrad am Äquator
- das gilt vertikal für jeden Längengrad

Danke für eure Hilfe

auch wenn ihr mir nur einen Link schickt wo ich vielleicht eine Lösung finden kann.

Gruß
Roman

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

maxsymca

22:26 Uhr, 28.02.2022

Hallo,

ich hab mir mal eine Funktion zur Berechung der Entfernung zweier Punkte A,B auf einem Großkreises gebaut

D i s t G K (r, β_{A}, λ_{A}, β_{B}, λ_{B}) := r \cdot a c o s (s i n (β_{A}) s i n (β_{B}) + c o s (β_{A}) c o s (β_{B}) c o s (λ_{B} - λ_{A}))

Koordinaten N,O positiv
Koordinaten S,W negativ
www.geogebra.org/m/kcwsvhdv

Am Beispiel von Frankfurt
FRA,50.02639°,8.5425°

Der Breitengard-Großkreis gemessen vom Nordpol liegt bei

DistGK(120, 50.02639°,8.5425°,90°,0°)=83.72 [cm] (rote Strecke)
von NP runtermessen
Sphärendreieck für einem Großkreisausschnitt auf dem Breitengrad

Entfernung vom Null.Meridian auf dem Breitengrad

DistGK(120, 50.02639°,8.5425°,50.02639°,0°)= 11.49 [cm] (grüne Strecke)

so müsste es gehen?

CAS_GeoKoordinaten.ggb_2022_02_28_23_07_47

RoWaLo aktiv_icon

14:08 Uhr, 01.03.2022

Hallo Maxsymca
Danke für deine Antwort und die tolle Formel …. Whow!!!!!
Ich will nicht fragen wie man auf so was kommt aber es würde mich schon interessieren,
(mit Zeichnung und Winkel etc) auch wenn ich es wahrscheinlich nicht verstehen werde.

Wie ich schon in meinem 1.Beitrag schrieb bin ich zum einen schon etwas älter

(70)

aber noch recht aktiv und zum andern kein Mathe-Genie.

Ich habe jetzt trotzdem noch Fragen:

Kann ich statt dem Nordpol Breitengrad = 90° (wie in ihrem Beisp.) auch den Äquator (0°) ansetzen um so die Strecke Äquator zu dem Koordinatenpunkt

x

zu berechnen?

- bei den

sin, cos

und acos Funktionen setze ich die Koordinatangaben die ich mir aus
Google maps

(\in

Grad) hole ein und die muss ich in Excel in Bogenmass umrechnen.

Muss ich noch etwas beachten wenn die Gradzahlen negativ werden ?
für die Breitengrade auf der Südhalbkugel
bzw.
für die Längengrade von Null nach Westen

(0

bis

- 180)

Damit ich nichts falsch verstehe.
- sie haben in dem Beisp für Frankf. den Durchm.

d = 120

genommen und nicht

r = 60

?
- zwischen den sin und

cos

Funktionen stehen Multiplikationszeichen richtig?
- der Doppelpunkt vor dem istgleich(=) Zeichen hat nichts zu besagen oder?

Vielen Dank für Ihre Mühe
und nochmals meine Bewunderung für die Formel
Beste Grüße
Roman

maxsymca

16:13 Uhr, 01.03.2022

Dann sitzen wir im gleichen Boot - altersmäßig meine ich ;-)...

Zur Konstruktion der Formel hab ich Dir einen Link auf eine GeoGebra-App gegeben.
Da gibt es aber wiedermal ein Problem mit den Updates. Die Eingabe über die Inputboxen A,B funktioniert NICHT mehr. Man muss die Punkte A,B direkt in der App im Algebra Fenster eingeben. Das Du den Durchmesser genannt hast hab ich schlicht überlesen, also setze r=60. Die Kürzel sind die internationalen Flughafen Bezeichner. Du kannst mit der Formel die Entfernung zweier Punkte auf dem Globus messen.

Ich hab Dir den Nullpunkt {"NUL", 0°, 0°}, des Koordinatensystems eingezeichnet und FRA auf den Äquator runtergelotet {"FRAQ", 0°, 8.5425°}
Ich lade mal eine Version mit Radius r=60, NUL, FRAQ hoch:
www.geogebra.org/m/ycktrcrf

linksrum/runter - , rechtsrum/rauf +,

Du kannst in der App nachlesen:
z.B: {"JFK", 40.63972°, -73.77889°} ~ (40.63972°, 286.22111°) New York

Für XL legt man zur besseren Übersicht eine VBA-Funktion an (kannst Du damit umgehen?).
Siehe Anwendungsbeispiel

Function DistGK(r As Single, bA As Single, lA As Single, bB As Single, lB As Single)

DistGK = r * WorksheetFunction.Acos(Sin(bA) * Sin(bB) + Cos(bA) * Cos(bB) * Cos(lA - lB))

End Function

FRA___50,02639___8,54250__52,38751173__8,945684731___
___________________________=DistGK(60;BOGENMASS(B2);BOGENMASS(C2);0;BOGENMASS(C2))
_______________________________________=DistGK(60;0;BOGENMASS(C2);0;0)

Wenn Du alles von Äquator aus messen willst/kannst, ist die Formel auch etwas overkill.
FRA-FRAQ = 2*60*PI()*50,02639/360, NUL-FRAQ = 2*60*PI()*8,5425/360

BTW:
Es gibt vom Kollegen Wengler einen gezeichneten Globus, wo Du ggf. Daten finden kannst zu Deinem Projekt.
www.geogebra.org/m/dwwsce9v

Roman-22

18:50 Uhr, 01.03.2022

Da du speziell nach dem Abstand von Äquator frägst, wenn der Breitengrad gegeben ist, nehme ich an, dass du um den Äquator bereits eine Skala mit den Längengraden aufgetragen hast. Vermutlich wirst du für deinen Globus letztlich auch eine Halterung basteln und ihn entlang der NS-Achse beweglich/drehbar machen. Da wirst du vl wie oft üblich eine halbkreisförmige Halterung verwenden.
Warum bastelst du diese nicht jetzt gleich, trägst dort eine Skala ähnlich wie bei
m.media-amazon.com/images/I/91MId-VNvjL._AC_UL800_QL65_.jpg
auf, dann kannst du jeden beliebigen Punkt, von dem du Längen- und Breitengrad kennst, sofort und ohne Rechnerei eintragen.

RoWaLo aktiv_icon

12:23 Uhr, 02.03.2022

Hallo haben Sie mir an meine private E-Mail Adr. eine E-Mail geschrieben? aus der nicht hervorgeht das sie derjenige sind der hinter maxsymca steht?

Gruß Roman

maxsymca

15:05 Uhr, 02.03.2022

Hallo,

und nein von mir ist keine Email an Dich gegangen. Grundsätzlich nicht...
Ich hab von Georg Wengler das OK bekommen seine Geodaten in meiner App zu verwenden - sieht sehr schick aus :-)...
20 DIN A4 Seiten mit Geo-Koordinaten (5550) zur Darstellung der Kontinente durch Polygonzüge!

Roman-22

15:06 Uhr, 02.03.2022

>

Hallo haben Sie mir an meine private E-Mail Adr. eine E-Mail geschrieben?
Ich weiß jetzt nicht, an wen diese Frage gerichtet ist, aber da mein Beitrag der letzte vor deiner Nachfrage war, antworte ich mal.
Nein, ich schreibe keine E-Mails an Forenteilnehmer.
Generell wäre es auch nicht ratsam, seine Mail-Adresse in einem Forum öffentlich bekannt zu geben.

RoWaLo aktiv_icon

12:15 Uhr, 03.03.2022

Hallo maxsymca

Wie schon geschrieben geht es darum über eine Formel zwei Strecken zu berechnen zu dem Punkt

P 1 (P 700)

zu dem ich die Geo Koordinaten aus Google Maps habe und diesen Punkt dann mittels der Strecken und mittels eines "Schneider"-Maßband auf der Kugel auf zu zeichnen.

1 .)

die Strecke in cm vom Nordpol (oder altern. vom Äquator) bis zu dem Punkt

P 1

2 .)

die Strecke in cm vom Längengrad

L 0 (\in

Höhe des entsprechenden Breitengrades)
zu dem Punkt

P 1

Jetzt ist es so, dass ich ja die tolle Formel oben bekommen habe die für eine Streckenberechnungen auf einer Erd-Oberfläche hergenommen wird.
Für die Erde

〉

Erd-Radius

6.370

km
▼
DistGK(r,βA,λA,βB,λB) = r⋅acos(sin(βA)sin(βB)+cos(βA)cos(βB)cos(λB−λA))
▲
bei mir

0,6 m

Wenn ich die jedoch anwende (ich habe hierzu die Strecken für 5 Punkte berechnen lassen),dann verwirrt mich das Ergebnis ein wenig.
Ich habe mir auf die Kugel die Längen und Breitengrade erstmal nur in 10° Schritten aufgezeichnet (liegt ein Punkt irgendwo dazwischen dann kann ich nur in etwa schätzen wo er liegen müsste bzw. kann mir da noch ein 1 Grad Raster einzeichnen. )
Die Berechnung der Strecken ergibt nun aber

z

. T. Ergebnisse im Raster die doch um einige cm neben den Grad Koordinaten die ich von Google-Maps abgeriffen hatte liegen .

Woran kann das liegen?

Ist die Formel im Beitrag oben nur für Kugeln mit einem riesigen Radius wie dem der Erde gültig und für kleine Kugeln wie meiner mit nur

1,2 m

Durchm. zu ungenau ?
Gibt es für kleine Kugeln eine andere Möglichkeit / Formel?
Oder muss ich bei der Verwendung der google-Maps Geo-Koordinaten (Längen-

+

Breiten-
Winkel-Grad Angaben) noch etwas berücksichtigen bevor ich die Wiinkel-Angaben für eine Berechnung auf der Kugeloberfläche verwenden kann?
Bei der Strecken Berechnung in Excel muss ich ja die Google-Maps Grad Angaben ja in Bogenmaß umrechnen (direkt Winkel versteht Excel ja nicht)
Wie ist das jetzt für die Koordinaten bei denen ich von google-Maps negative Grad Angaben bekomme (Südhalbkugel

+

Westhalbkugel) muss ich da auch noch etwas beachten oder muss ich die bei der Umrechnung in Bogenmaß die Winkel mit negativem Vorzeichen eingeben?.

Können sie mir nochmal irgendwie weiterhelfen? Wie ich bei einer "kleinen" Kugel zu besseren Ergebnissen komme, die im Koordinatennetz relativ genau mit den gegebenen Koordinaten übereinstimmen.
Es ist zu Mühsam mir für

700

Punkte auf der Kugel ein 1 Grad Raster auf zu zeichnen

Vielen Dank für Ihre Mühe und die Zeit
Gruß
Roman

Roman-22

15:01 Uhr, 03.03.2022

Abweichungen sind natürlich zu erwarten durch die Tatsache, dass die Erde nun mal keine exakte Kugel ist. Allerdings dürften die sich meiner Meinung nach nicht so auswirken, wie du das beschrieben hast, wenn du bereits einen Raster auf der Kugel hast.
Vielleicht hat dich irritiert, dass dir maxsymca eine Formel geliefert hat, welche dir den Abstand zweier beliebiger Punkte auf einer Kugel berechnet.
Diese Formeln sind genau und keine Näherungen - sie gelten daher für Kugel mit beliebigem Radius, egal ob groß oder klein.

Für dich sind im Grunde nur zwei einfache Formeln relevant:

Rote Länge (Entfernung vom Äquator auf einem Längenkreis):

r o t = r \cdot B r e i t e n g r a d

Grüne Länge (Entfernung vom Nullmeridian auf einem Breitenkreis):

g r u e n = r \cdot L a e n g e n g r a d \cdot cos (B r e i t e n g r a d)

Achtung! Ich beziehe mich da auf die von dir zuletzt gepostete Zeichnung! Im Gegensatz zu dieser war die grüne Länge in der Zeichnung von maxsymca eine Länge auf dem Äquator. Der Unterschied liegt im Faktor

cos (B r e i t e n g r a d)

. Die von dir in der letzten Zeichnung eingetragene grüne Länge lässt sich übrigens mit der allgemeinen Formel von maxsymca nicht bestimmen, da diese immer nur den kürzesten Abstand zweier Punkte (entlang eines Großkreises) berechnet. Der Weg über den Breitenkreis ist aber nicht der kürzeste Weg.

Natürlich sind die Winkel dabei im Bogenmaß anzugeben und

r

ist der Radius deiner Kugel.

Ist ein Winkel negativ, dann kommt die entsprechende Länge auch negativ raus und ist dann eben in die andere Richtung abzutragen.
Bei neg. Breitengrad also vom Äquator nach "unten" (Süden) und bei neg. Längengrad vom Nullmeridian nach "links", also Richtung Westen.

N8eule

17:59 Uhr, 04.03.2022

Hallo
Wenn ich eingreifen, anbieten, ergänzen dürfte:

1 .)

Breitengrade

- - - - -

in ein cm Ergebnis für die Oberfläche der Kugel gemessen vom Äquator
Ich nehme an, dir ist es schon irgendwie gelungen, den Äquator auf der Kugel mit ausreichender Genauigkeit zu kennzeichnen.
Dann sollte das wirklich nicht schwer sein:

Abstand vom Äquator

= r \cdot φ

wobei du eben den Breitengrad-Winkel

φ

im Bogenmaß nutzen musst, oder aus dem Gradmaß umrechnen musst:
Abstand vom Äquator

= r \cdot \frac{φ}{[\circ]} \cdot \frac{π}{180}

2 .)

Längengrade

- - - - - - -

in ein cm Ergebnis für die Oberfläche der Kugel gemessen von Längengrad 0°
Ich ahne, das wird das Problem sein!
Ich ahne aber hieraus auch, dir ist es schon gelungen, irgendwie den Längengrad 0° auf deiner Kugel zu kennzeichnen. Sonst kannst du ja auch nicht hiervon messen...

: - (

Zum Abgleich unserer Verständnisse: Eine Messung vom Längengrad wird sehr unpraktisch und ungenau

>

für Orte in Pol-Nähe

>

für Orte im Pazifik, also in Ferne des 0° Längengrads.
Überlege: Von welchem Punkt des 0°-Längengrads aus willst du denn messen, insbesondere für genannte Problemfälle?

Deshalb meine Nachfrage und Anregung:
Wenn es dir gelungen ist, den 0°-Längengrad schon kenntlich zu machen, kann es dir dann nicht auch gelingen, weitere Längengrade,

z . B

. den 180°-Längengrad, den 90° oder den -90°-Längengrad ganauso kenntlich zu machen.
Dann hättest du und wir es viel leichter, praktischer und eindeutiger zu messen.

Grundsätzlich: Je mehr Längengrade du schon vorbereiten kannst, desto leichter und eindeutiger wird es werden, auch beliebige Geokoordinaten ausgehend vom nächstliegenden Längengrad aus zu lokalisieren und zu messen.

RoWaLo aktiv_icon

18:31 Uhr, 04.03.2022

Hallo

Ja Danke für deinen Beitrag N8eule

Zur Info:
Ich habe mir den Äquator mit ausreichender Genauigkeit eingezeichnet
Ich habe mir in 10° Schritten auch inzwischen schon weitere Breitengrad Kreise eingezeichnet.

Ich habe mir den Längengrad 0 mit ausreichender Genauigkeit eingezeichnet
Ich habe mir in 10° Schritten auch inzwischen auch schon weitere Längengrad Linien eingezeichnet.

Danke für den Weg für die Breitengrade

Gruß Roman

N8eule

18:42 Uhr, 04.03.2022

Dann sollte es doch eigentlich nicht mehr sehr schwer sein, zwischen den zwei benachbarten Längengraden zu interpolieren....
Welche Genauigkeit erwartest du?
siehst du wirklich Schwierigkeiten, auf dem jeweiligen Breitengrad den Abstand zwischen zwei Längengraden zu messen und den Abstand zu deinem neu festzulegenden Punkt wirklich zu messen, praktizieren, interpolieren?

RoWaLo aktiv_icon

20:14 Uhr, 05.03.2022

Hallo an Alle die mir geantwortet haben

Vielen Dank für eure Antworten, ich kamme jetzt klar ihr habt mir mit euren Beiträgen sehr geholfen.

Viele Grüße Roman

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