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Umwandeln einer Geraden in Parameterdarstellung

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Vektorraum

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09:35 Uhr, 03.12.2012

hallo :-)
also ich tu mich irgendwie voll schwer eine Gerade von der Koordinatenform in die Parameterform umzuwandeln...
Gegeben ist folgende Gerade

g : 2 y - \frac{3}{4} x = - 1

Bestimmen Sie die Parameterdarstellung von

g!

Kann mir jemand weiterhelfen??
Dankeschön schon mal ;-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

10:22 Uhr, 03.12.2012

g : 2 \cdot y - \frac{3}{4} \cdot x = - 1

soll in die ( besser wäre hier "eine" ) Parameterform umgewandelt werden.
Eine Parameterform sieht so aus:

g : X = P + t \cdot \vec{v}

Dabei ist

X = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

der allgemeine Ortsvektor eines Geradenpunktes,

P

der Ortsvektor eines festen Punktes auf der Geraden,

t

ein Parameter und

\vec{v}

der Richtungsvektor.
Man benötigt also für die Geradengleichung

(\in ℝ^{2}

)einen festen Punkt und den Richtungsvektor. Beides ließe sich aus der gegebenen Geradengleichung ableiten.
Es geht aber auch anders.
Jede Geradengleichung in Parameterform hat einen Parameter ( hier

z . B

t

bezeichnet ).
Ich erkläre eine der ursprünglichen Variablen

(z . B

. das

x

zum Parameter

t)

Also

x = t

Dann habe ich

2 \cdot y - \frac{3}{4} \cdot t = - 1

Jetzt forme ich nach

y

y = - \frac{1}{2} + \frac{3}{8} \cdot t

Die noch leere Parameterform sieht so aus.

X = () + t \cdot ()

Die obere Reihe ist für die Variable

x

zuständig. Ich interpretiere

x = t

x = 0 + t \cdot 1

Die untere Reihe ist für die Variable

y

zuständig.

y = - \frac{1}{2} + t \cdot \frac{3}{8}

Mit diesen Werten fülle ich die Parameterform auf.

(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ - \frac{1}{2} \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ \frac{3}{8} \end{matrix})

und bin fertig.
Wenn man will, dann kann man den Richtungsvektor noch vereinfachen.

(\begin{matrix} 1 \\ \frac{3}{8} \end{matrix}) | | (\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix})

Natürlich gibt es noch ein paar andere Methoden.

anonymous

10:38 Uhr, 03.12.2012

Andere Methode:
Ich hole mir aus der gegebenen Gleichung 2 feste Punkte heraus.
Ich wähle ein beliebiges

x

und berechne das dazugehörige

y

.
Habe ich zwei Punkte der Geraden, dann kann ich den Richtungsvektor bilden und einen der Punkte zum festen Punkt erklären.

anonymous

10:42 Uhr, 03.12.2012

Andere Methode:
Ich bringe die Geradengleichung auf die Form

y = \frac{3}{8} \cdot x - \frac{1}{2}

und berechne die Koordinaten von NUR EINEM Punkt.

\frac{3}{8}

ist ja der Anstieg

k

der Geraden.
Zwischen Anstieg der Geraden und Richtungsvektor besteht folgende Beziehung:

\vec{v} = (\begin{matrix} 1 \\ k \end{matrix})

Womit ich ebenfalls alle notwendigen Angaben für die Parameterform habe.

vcbi1 aktiv_icon

12:47 Uhr, 04.12.2012

Okay vielen dank :-)

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