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Unabhängigkeit des Komplements

Universität / Fachhochschule

Tags: Induktion, Komplement, Unabhängigkeit

Bruno Math

16:49 Uhr, 21.05.2018

Hi, ich komme bei folgendem Induktionsbeweis nicht weiter:

Ist

(A_{i} : i \in I)

eine Familie unabhängiger Ereignisse und gilt

B_{i} \in {A_{i}, A_{i}^{c}}

für alle

i \in I

, so ist auch

(B_{i} : i \in I)

eine Familie unabhängiger Ereignisse.

Dieses Lemma besagt doch quasi, dass das Komplement einer Familie unabhängiger Ereignisse auch eine Familie unabhängiger Eregnisse ist, oder?

Wir sollen zum Beweis einen Induktionsbeweis über die Zahl der Indizes i mit

B_{i} = A_{i}^{c}

führen.

Ich bin jetzt so vorgegangen:

I.A.: Sei n=2, dann gilt

P (B_{1} \cap B_{2}) = P (A_{1}^{c} \cap A_{2}^{c}) = P ((A_{1} \cup A_{2})^{c}) = 1 - P (A_{1} \cup A_{2})

= 1 - (P (A_{1}) + P (A_{2}) - P (A_{1} \cap A_{2})) = 1 - P (A_{1}) - P (A_{2}) + P (A_{1} \cap A_{2}) = 1 - P (A_{1}) - P (A_{2}) + P (A_{1}) P (A_{2})

(

A_{1}, A_{2}

sind ja nach Vor. unabhängig)

= (1 - P (A_{1})) (1 - P (A_{2})) = P (A_{1}^{c}) P (A_{2}^{c}) = P (B_{1}) P (B_{2})

Also gilt die Behauptung für beliebige n. Wenn ich jetzt auf n+1 erweitere, ist der Beweis aber analog von den Umformungen. Wo könnte ich denn die Voraussetzung einsetzen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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