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Unbekannt Notation bei Reihen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Konvergenz, reih

Nyffenschwander

23:17 Uhr, 23.01.2025

Guten Tag!

Ich bin während des Schlenderns im Internet auf diese Notation gestoßen (siehe Bild).
Was heißt das? Ist das noch eine Summe, also eine Doppelsumme? Was meint die äußere Klammer mit den Grenzen? Gibt es da dann bestimmte Tricks für bei der Konvergenz und absoluten Konvergenz?

Über Antworten wäre ich sehr dankbar.

Mit freundlichen Grüßen,
Nyffenschwander

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

00:35 Uhr, 24.01.2025

Nein, es ist keine Doppelsumme, da dürfte ja sonst rechts nur

ℝ

stehen.

Würde anstelle von

\infty

ein endliches

N

stehen, wäre es ein geordnetes N-tupel, also ein Element von

ℝ^{N}

.

Es ist einfach eine kurze (für mich auch eher ungewöhnliche) Art, eine Folge anzugeben.

< a_{m} >

mit

a_{m} = \sum_{n = 1}^{m} \frac{n^{5}}{5^{n}}

und

m \in ℕ^{⋆}

(das ist seit Mitte der 70er Jahre des vergangenen Jahrhunderts die normgerechte Bezeichnung der natürlichen Zahlen ohne Null).

< a_{m} > = < \frac{1}{5}; \frac{37}{25}; \frac{428}{125}; \frac{3164}{625}; ... >

Grenzwert der Folge ist übrigens

lim_{m \to \infty} a_{m} = \frac{3535}{512}

michaL aktiv_icon

07:33 Uhr, 24.01.2025

Hallo,

dies meint die Folge der Partialsummen der Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{5}}{5^{n}}

.

Mfg Michael

PS: Sorry, hatte wohl noch nicht aktualisiert und deswegen deine Antwort nicht gesehen...

Nyffenschwander

07:44 Uhr, 24.01.2025

Herzlichen Dank an euch beide.

HAL9000

08:35 Uhr, 24.01.2025

Was viele nicht wissen oder ihnen nicht (mehr) bewusst ist: Das Symbol

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

steht für zwei verschiedene Dinge:

1) Für die entsprechende Reihe, und darunter versteht man die Folge

{(s_{n})}_{n = 1, 2, \dots}

der Partialsummen

s_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}

. Manche schreiben für die Folge alternativ

{(s_{n})}_{n = 1}^{\infty}

, so auch hier in der Anfrage.

2) Konvergiert

{(s_{n})}_{n = 1, 2, \dots}

, d.h.

lim_{n \to \infty} s_{n} = s

, so verwendet man dasselbe Symbol auch für den Reihenwert, insbesondere in Rechnungen damit, also

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = s

.

Viele denken bei dem Symbol wohl unmittelbar an 2), aber das ist eben nur ein Teil. Bezogen auf die Threadanfrage hier kann man daher mit Fug und Recht

{(\sum_{n = 1}^{m} \frac{n^{5}}{5^{n}})}_{m = 1}^{\infty} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{5}}{5^{n}}

,

schreiben, aber diesmal im Interpretationssinn 1) (und damit nicht als Reihenwert). Aus dem Kontext der Verwendung sollte jeweils hervorgehen, ob man gerade 1) oder 2) meint.

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