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Unbekannter Erwartungswert, Standardabweichung

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Tags: Unbekannte Standardabweichung, Unbekannter Erwartungswert, Verteilungsfunktion

tt1991 aktiv_icon

10:42 Uhr, 17.12.2016

Hallo Liebe Community,

ich habe jetzt in meinem Studium folgende Aufgabe vor mir liegen:

Die Körpergröße einer bestimmten Gruppe von Menschen kann als normal verteilte Zufallsgröße aufgefasst werden. Genau

6,68 %

dieser Menschen sind kleiner als

1,60

Meter, und genau

69,15 %

sind nicht größer als

1,84

Meter. Bestimmen Sie Erwartungswert und Standardabweichung der Körpergrößen auf Zentimeter genau.

Meine Frage dazu lautet:
Ich habe schon öfter Normalverteilungen berechnet jedoch waren Erwartungswert und Standardabweichung gegeben. Jetzt stehe vor diesem Problem und komme nicht weiter.
Meine Recherchen haben mich dann zu den Schlagwörtern "Ausgewählte Schätzintervalle" geführt.
"Erwartungswert eines unbekannt verteilten Merkmals mit unbekannter Varianz:
Falls

n

genügend groß ist, kann aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes das Konfidenzintervall bestimmt werden"

Liege ich damit auf dem Holzweg wenn ja wie soll ich dann an die Aufgabe rangehen. Den Ausgewählte Schätzintervalle haben wir nicht behandelt und ich ungern Lösungswege nehme die ich nicht verstehe.

MfG Chris

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

11:33 Uhr, 17.12.2016

Diese Aufgabe hat nichts mit Schätzungen zu tun.
Du kennst Erwartungswert und Standardabweichung nicht, na und?
In Mathematik benennt man unbekannte Größen mit Buchstaben und stellt für sie Gleichungen auf, aus welchem man sie berechnen kann.
In diesem Fall sind es Gleichungen

P (X \leq 1.6) = 0.0668

und

P (X \leq 1.84) = 0.6915

.
Es bleibt nur die Frage, wie man die unbekannten

μ

und

σ

in die Gleichungen reinbekommt.
Das geht auf dem Standardweg über die Standardnormalverteilung:

P (X \leq 1.6) = P (\frac{X - μ}{σ} \leq \frac{1.6 - μ}{σ})

und man kann benutzen, dass

\frac{X - μ}{σ}

die Verteilung

N (0, 1)

hat, also kann man die Tabelle der Standardnormalverteilung dafür nutzen.

tt1991 aktiv_icon

12:37 Uhr, 17.12.2016

Vielen Dank für die rasche Antwort schon mal, mal schauen ob ich das dann richtig verstanden habe?

P(X≤1.6)

= 0,0668 \to

aus der Tabelle

0,0668 \to 0,53188

&
P(X≤1.84)

= 0,6915 \to

aus der Tabelle

0,6915 \to 0,75490

somit kann ich anschließend:
(160-μ)/σ

= 0,53188

&
(184-μ)/σ

= 0,75490

berechnen.

Durch umstellen und ausrechnen erhalte ich dann:
σ

= 107,61

und
μ

= 102,76

stimmt das so weit?

DrBoogie aktiv_icon

12:50 Uhr, 17.12.2016

Du hast die Tabelle wohl falsch gelesen. Bei

0.0668

muss ein negativer Wert rauskommen.
Den Wert

0.0668

findest Du auch gar nicht in der Tabelle, Du musst

Φ (- z) = 1 - Φ (z)

nutzen.

tt1991 aktiv_icon

13:01 Uhr, 17.12.2016

Sorry wir haben soetwas im ganzen Studium nicht gemacht aber wenn ich das in dem video richtig verstanden habe und ich für

0,0668

in der Tabelle schaue bekomme ich

0,53188

warum muss ich hier jetzt auf einmal etwas von 1 abziehen und dann erst nachschauen?

Und ja ich habe mich verschaut es hätte

0.52392

DrBoogie aktiv_icon

13:14 Uhr, 17.12.2016

"aber wenn ich das in dem video richtig verstanden habe"

Hast Du nicht.
Du brauchst

a

, so dass

P (X \leq a) = 0.0668

. D.h. Du brauchst

a

, so dass

Φ (a) = 0.0668

oder anders gesagt

Φ^{- 1} (0.0668)

. Was Du in der Tabelle gefunden hast, ist aber

Φ (0.0668)

. Das ist was ganz Anderes, nämlich

P (X \leq 0.0668)

. Danach fragt Dich aber niemand.
Also,

0.0668

müsstest Du in der Tabelle selber finden, nicht an den Ränden. Nur gibt's in der Tabelle selber nur die Werte ab

0.5

, daher brauchst Du die Transformation.

tt1991 aktiv_icon

13:55 Uhr, 17.12.2016

Ok wenn ich das richtig verstehe muss ich also:

1 - 0,0668 = 0,9332

anschließend mit diesen Werten:

0,9332

und

0,6915

in der Tabelle suchen bekomme dann für:

0,9332 \to

am linken Rand

1,5

oben 0

0,6915 \to

am linken Rand

0,5

oben 0

Was ich nun nicht so ganz verstehe ist was kann ich nun mit den beiden Werten machen?
Ich denke mal es sind nur 2 da man diese jeweils zusammen fast also

1,5

und

0,5

.
Es sollte sich doch hierbei im die Wahrscheinlichkeiten handeln.
also erhalte ich jetzt die Rechnung: (160-μ)/σ

= 1,5

Vielen Dank.

DrBoogie aktiv_icon

14:09 Uhr, 17.12.2016

"Was ich nun nicht so ganz verstehe ist was kann ich nun mit den beiden Werten machen?
Ich denke mal es sind nur 2 da man diese jeweils zusammen fast also 1,5 und 0,5.
Es sollte sich doch hierbei im die Wahrscheinlichkeiten handeln."

Es würde helfen, wenn Du mal etwas darüber lesen würdest.
Zumindest die Erklärung, wie man die Tabelle liest:
de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_Standardnormalverteilung

Wenn Du z.B. den Wert

0.9332

in der Tabelle findest und links

1.5

abliest und oben

0

, dann weißt Du, dass

P (X \leq 1.50) = 0.9332

.
Die W-keit ist der Wert

0.9332

. Der Wert

1.50

ist natürlich keine W-keit, das ist ein Wert, denn Du brauchst, um Deine Gleichungen zu lösen.
Nach der Formel

Φ (1 - z) = 1 - Φ (z)

weißt Du jetzt, dass

P (X \leq - 1.5) = 1 - P (X \leq 1.5) = 1 - 0.9332 = 0.0668

. Daraus folgt

\frac{160 - μ}{σ} = - 1.5

. Das ist die 1. Gleichung. Die 2. bekommst Du ähnlich.

tt1991 aktiv_icon

14:33 Uhr, 17.12.2016

Ach ok somit erhalte ich die zweite Gleichung etwas anders:
P(X≤0,5)

= 0,6915 \to

(184-μ)/σ

= 0,5

durch auflösen und umstellen erhalte ich dann meinen Erwartungswert von 178cm und meine Standardabweichung von

12

cm.
Aber das mit dem 1 Minus für die erste Gleichung ist auf Grund der Tabelle da dort nur die Halbseitige Kurve bzw Werte vorkommen habe ich das so richtig verstanden?

DrBoogie aktiv_icon

15:22 Uhr, 17.12.2016

"Aber das mit dem 1 Minus für die erste Gleichung ist auf Grund der Tabelle da dort nur die Halbseitige Kurve bzw Werte vorkommen habe ich das so richtig verstanden?"

Es wäre möglich, die Tabelle auf alle Werte auszuweiten. Aber da die Verteilung symmetrisch ist, spart man sich eine Hälfte.

tt1991 aktiv_icon

15:24 Uhr, 17.12.2016

Vielen Dank für die Hilfe und danke fürs erklären.

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