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Unendlich paradoxe Affen
Universität / Fachhochschule
Tags: Affen, Infinite monkey theorem, Paradoxon, unendlichkeit
 
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Hallo! Nur kurz vorweg zu meiner Person, ich bin kein Mathematiker, sondern nur interessierter Laie. Ich stieß soeben auf ein Paradoxon beim Philosophieren über Unendlichkeiten. Mein Problem geht in die Richtung "Mehrere Unendlichkeiten als Bestandteil einer einzigen Unendlichkeit" und ist in Fachkreisen unter Logikern, Numerologen sowie Anhängern der Mengenlehre bestimmt schon längst bekannt. Umso mehr interessiert mich die Antwort darauf. Los gehts! Ein jeder hier wird das Infinite-Monkey-Theorem kennen. Das Theorem ist allgemein leicht verständlich und erscheint uns logisch. Wenn oft genug zufällige Tasten getippt werden, entsteht am Ende bei einem der Versuche - meinetwegen - die komplette Buchreihe "Das Lied von Eis und Feuer" - fehlerfrei und typografisch korrekt! Aber hier hört es nicht auf! Das Theorem besagt auch, dass das Werk immer und immer wieder in der Unendlichkeit auftaucht, vielleicht mal nach Zeichen und wann anders mal nach Zeichen. Irgendwann in dieser Unendlichkeit wird es sogar zweimal direkt hintereinander auftreten. Und dann dreimal. Und schließlich mal. Hier wird es nun komplizierter: In einem unendlichen zufälligen Buchstabenalgorithmus wird früher oder später zwangsläufig auch eine unendliche(!) Aneinanderreihung von Kopien des Werks "Das Lied von Eis und Feuer" auftreten. Auch wenn wir uns das nicht vorstellen können, klingt es zutiefst logisch. Mein Problem bzw. das Paradoxe daran ist, dass diese Situation der unendlichen Aneinanderreihungen wiederum selbst nicht bloß einmal, sondern unendliche Male stattfindet, dazwischen aber ein Wechsel stattfinden muss. Um die Überlegung gedanklich zu vereinfachen und das Problem besser zu veranschaulichen, sagen wir einfach, dass ja nicht bloß "Das Lied von Eis und Feuer" unendliche Male generiert werden würde, sondern auch zum Beispiel "Der Herr der Ringe". Keine Sorge, es geht mir nicht darum, dass unendliche Kopien von beiden Werken in nur einer Unendlichkeit enthalten sind. Dies erscheint mir nämlich noch ebenso logisch wie die Vorstellung einer unendlich langen Zeichenkette aus 1en und 0en. Nein, es geht mir darum, dass wie schon postuliert, irgendwo in der Zeichenfolge unendlich aufeinanderfolgende(!) Kopien von "Das Lied von Eis und Feuer" auftreten werden, während gleichzeitig andernorts unendlich aufeinanderfolgende(!) Kopien von "Der Herr der Ringe" auftreten werden. Doch wie kann in der Unendlichkeit überhaupt ein Wechsel von "Das Lied von Eis und Feuer" in "Der Herr der Ringe" stattfinden? Eine unendlich lange "Das Lied von Eis und Feuer"-Aneinanderreihung mit einem definierten Beginn muss folglich nach hinten hinaus unendlich lang sein. Dennoch muss sich auch ein Punkt innerhalb der unendlichen Zeichenkette postulieren lassen, an dem plötzlich die unendlichen "Der Herr der Ringe"-Kopien beginnen und damit die "Das Lied von Eis und Feuer"-Kopien enden. Das wiederum würde bedeuten, dass die erste Kopienkette eben doch nicht so unendlich ist. Es kann also lediglich eines der beiden Werke in unendlichfacher Ausführung enthalten sein, obwohl sie es beide müssten. Im weiteren Sinn des Theorems argumentiert würden dagegen sogar selbst die Wechsel zwischen den unendlichen Werkswiederholungen in unendlichfacher Zahl vorliegen. Und natürlich geht es auch nicht bloß um zwei Werke, sondern um alle beliebigen Werke oder auch nur Zeichenfolgen, die alle auch jeweils unendlichfach wiederholt würden. Das kann nicht sein oder ist für uns zumindest unvorstellbar. Nun, kurz gefragt, wie löst also in der Unendlichkeit die eine Unendlichkeit eine vorhergehende Unendlichkeit ab, ohne dass diese erste Unendlichkeit dadurch verletzt wird? Gibt es dafür eine populärmathematische Erklärung, die auch ich als Laie verstehen kann? Oder ist dies vielleicht sogar ein echtes Paradoxon, für das es derzeit keine Erklärung gibt? Ich freue mich auf eure Antworten! Gruß, Manuel Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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"In einem unendlichen zufälligen Buchstabenalgorithmus wird früher oder später zwangsläufig auch eine unendliche(!) Aneinanderreihung von Kopien des Werks "Das Lied von Eis und Feuer" auftreten. Auch wenn wir uns das nicht vorstellen können, klingt es zutiefst logisch." Für mich klingt das alles andere als zutiefst logisch. Natürlich gibt es beliebig häufige Wiederholungen des Werkes. Eine unendliche Aneinanderreihung ist aber nach meinem Empfinden nicht möglich. Wie kommst du denn auf diese Idee? Es macht einen großen Unterschied, ob man fordert, dass beliebig lange, aber doch endliche Zeichenketten vorkommen oder dass unendlich lange vorgegebene Zeichenketten vorkommen. |
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Hi. Ich kann dir im Moment weder zustimmen noch deinen Einwand falsifizieren. Aber mir fällt auf, dass meine Beschreibung unnötig kompliziert war. Wählen wir stattdessen das Beispiel eines unendlich langen Buches. Die Frage ist, ob dieses unendlich lange Buch durch diesen unendlichen Zufallsalgorithmus notwendigerweise erfasst würde. Vielleicht hilft diese Umformulierung des Sachverhalts auch, eine Antwort auf deinen Einwand zu finden, der tatsächlich mein Paradoxon einstürzen lassen könnte. Ich werde mal in mich gehen, ob mein Paradoxon in der Form "logisch" ist, stehe aber vorerst ohne Lösung da. |
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Vielleicht hilft dir dazu folgendes: Man gibt sich eine beliebig lange, aber endliche Zeichenkette vor. Wir sagen mal, sie umfasst Zeichen. Danach tippen wir zufällige Zeichen auf der Tastatur ein. Die Wahrscheinlichkeit, dass man genau die vorgegeben Zeichenkette getippt hat, ist zwar sehr klein, aber größer als Null. Wir nennen sie mal . Es gilt also . Die Wahrscheinlichkeit, dass wir die Zeichenkette nicht getippt haben, ist nahe bei , nämlich . Nungut. Jetzt tippen wir mal nicht nur Zeichen, sondern Zeichen ein. Die Wahrscheinlichkeit, dann immernoch nicht die gewünschte Zeichenkette getroffen zu haben, liegt dann bei (das stimmt nicht ganz, ist aber für das Ergebnis nicht von Bedeutung), wird also für größeres immer kleiner, da gilt. Tippen wir nun unendlich viele Zeichen ein, so geht also gegen unendlich und damit gegen . Für einen unendlich langen Text ist die Wahrscheinlichkeit also , dass unsere Zeichenkette nicht darin vorkommt. Soweit so gut. Haben wir allerdings von vornherein eine unendlich lange Zeichenkette vorgegeben, so kann ich hier nicht analog vorgehen. Ich kann nicht sagen, dass ich mit einer Wahrscheinlichkeit von mein unendlich langes Buch tippe, wenn ich einen unendlich langen Text schreibe. Ich habe das mal so unmathematisch wie möglich gehalten, da du ja sagtest, dass du keinen mathematischen Hintergrund hast. Wenn du magst, kann ich da noch so einiges ergänzen. |
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Wegen eines Kurzurlaubs folgt erst jetzt meine Antwort: Habe ich es mir doch gedacht, dass sich das Problem auf diese Weise einfacher angehen lässt. Sofern ich deinen Beitrag richtig verstanden habe, hast du mir lediglich aufgezeigt, wie das Problem nicht zu lösen ist. Falls du mir etwas anderes als das mitteilen wolltest, müsstest du mir das noch mal näher erläutern. Ich habe gemerkt, dass ich mit dem Begriff der Unendlichkeit ein generelles Verständnisproblem habe. Wenn du sagst, dass der Kehrwert von Unendlich gegen 0 gehe, ist der Kehrwert dann 0 oder ein Unendlichstel? Gibt es dazwischen überhaupt einen Unterschied? Mathematisch gesehen ist er zumindest relevant, da durch Unendlich 0 ergibt, aber Unendlich mal 0 nicht . Das wäre aber der Fall, wenn man mit Unendlichsteln rechnen würde, obwohl ich auch verstehe, warum man das nicht tut. In einer abstrakteren Denkweise bin ich mir noch nicht einmal sicher, ob eine unendliche Zahl überhaupt einen Anfang haben kann. Kann eine unendliche Zahl beispielsweise mit 5 anfangen? Dann wäre sie nicht unendlich, da man so lange Zahlen addieren kann, bis die Zahl mit einer 6 beginnt. Natürlich gibt es unendlich lange zufällige Zahlenfolgen mit definiertem Anfang, als bekanntester Vertreter ist zu nennen. Aber diese Zahlenfolgen sind nur unendlich lang, nicht unendlich hoch. Also bei mir herrscht gerade allgemeine Verwirrung und deshalb kann ich auch deinen Gleichungen nicht vertrauen, wenngleich ich sie aus mathematischer Sicht verstehe. Vielleicht sollte ich mich mal um ein gutes Buch bemühen. :-) Trotzdem steht ja weiterhin die Frage im Raum, ob unendliche, zufällige Zahlenfolgen ineinander vorkommen. Ich glaube, einen zufriedenstellenden Rechenweg gefunden zu haben: Generieren wir zwei zufällige einstellige Zahlen, so beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass diese identisch sind, . Generiert man zweistellige Zahlen, so beträgt sie schon nur noch . Und so weiter. Bei Stellen ist die Wahrscheinlichkeit . Würde man bei einer der beiden Zahlen irgendwann aufhören, sie zu verlängern und beispielsweise eine hundertstellige Zahl gegen eine unendlich lange vergleichen, so wäre die Wahrscheinlichkeit schlagartig bei dass diese Kombination in der unendlichen Zahl auftaucht. Das liegt daran, dass die andere Zahl ja weiter "wächst" und damit immer neue Abschnitte geschaffen werden, an denen die Zahlen übereinstimmen können. Und bei einer unendlichen Zahl entstehen nun mal unendlich dieser Matches. Wachsen aber beide Zahlen unendlich weiter, so verringert sich die Wahrscheinlichkeit der zufälligen Übereinstimmung ständig um den Faktor für jede weitere Zahl. Sogesehen geht die Gesamtwahrscheinlichkeit gegen 0. Diese Rechnung geht allerdings nicht ganz auf, da sie der Prämisse Unendlich = Unendlich folgt. Da dies jedoch in der Mathematik nicht so ist, kann man meinen Rechenweg auch nicht als Beweis für irgendetwas hernehmen. Da ja zwei unendliche Zahlen bereits unendlich sind und nicht erst "wachsen", könnten hier wieder andere mathematische Effekte auftreten. Doch selbst wenn die eine Zahl wirklich komplett in der anderen enthalten wäre, dann müsste immer noch im Umkehrschluss gelten, dass auch die zweite in der ersten Zahl enthalten wäre. Inwiefern sowas überhaupt theoretisch möglich sein kann, ist wohl ein Fall für Logiker. Also, es gibt mal wieder mehr Fragen als Antworten. Trotzdem danke ich dir bisher für deine wichtigen und inspirierenden Gedanken, hoffe aber auch noch auf eine Drittmeinung. Gruß! |
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Hallo, Da du ja gerne noch eine dritte Meinung hören möchtest, schreibe ich jetzt mal nicht so viel dazu. Nur ein kleiner Widerspruchsbeweis, der dir vielleicht zusagt ;-) Wir nehmen an, dass die zufällig tippenden Affen irgendwann jedes vorgegebene unendlich lange Buch abtippen und führen dies zu einem Widerspruch. Wir geben dann das unendliche Buch vor, das nur das Zeichen 'a' unendlich oft wiederholt enthält. Wird dieses Buch von den Affen niedergeschrieben, so können wir eine Stelle in dem Aufschrieb der Affen identifizieren, an dem das Buch beginnt. Dies sei der Buchstabe, der von den Affen geschrieben wurde. Ab dem k. Buchstaben können also nur noch 'a's stehen, da das Buch sonst ja unterbrochen wäre. Geben wir nun die Zeichenkette mal 'b' vor, so kann diese nirgendwo in dem Aufschrieb der Affen erscheinen, da es nach dem . Buchstaben nur noch 'a's gibt und davor insgesamt nur Buchstaben. Das ist ein Widerspruch dazu, dass diese Zeichenkette in dem unendlichen langen zufälligen Aufschrieb auf jedenfall vorkommen muss. Ich wünsche noch einen schönen Abend :-) |
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