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Unfaire Münze wird geworfen

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Tags: Sonstig, Stochastik

 
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Fisch18

Fisch18 aktiv_icon

10:43 Uhr, 17.11.2024

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Hallo allerseits,
ich habe es mit folgender Aufgabe zu tun.
Eine unfaire Münze mit der Wahrscheinlichkeit 0<p<1 für ”Kopf“(K) und 1p für
”Zahl“(Z) wird N-mal geworfen.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass im i-ten Wurf zum ersten Mal ”Kopf“ geworfen
wird (iN).
b) Es sei pN die Wahrscheinlichkeit, dass in N Münzwürfen nie ”Kopf“ geworfen wird.
Berechne limnpN.
c) Für kN2 sei Ak das Ereignis, dass beginnend mit dem k-ten Wurf die Sequenz ZZZ
geworfen wird und Bk das Ereignis, dass beginnend mit dem k-ten Wurf die Sequenz
KKZ geworfen wird. Berechne die Wahrscheinlichkeiten von Ak und Bk.
d) Für welche k ist Ak unabhängig von B1? Begründe Deine Antwort.

Bei der a) dachte ich mir das man die geometrische Verteilung anwenden könnte. Bei den anderen Aufgaben bräuchte ich einen Ansatz.

Über Hilfe würde ich mich freuen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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KL700

KL700 aktiv_icon

11:02 Uhr, 17.11.2024

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a) (i-1)-mal kommt Zahl, dann Kopf:
(1-p)i-1p

b) Da p<1 ist, geht pN gegen 0 nür N, wie jeder Wert zwischen 0 und 1.

c) Ein Zahlenbeispiel könnte helfen.
Antwort
Joshua2

Joshua2 aktiv_icon

12:58 Uhr, 17.11.2024

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zu a)
P=(i über 1)p(1-p)i-1
P=i!1!(i-1)!p(1-p)i-1
P=ip(1-p)i-1
berechnet die Wahrschenlichkeit, dass bei i Würfen genau 1 mal "Kopf" geworfen wird.
Da es i Wege gibt P=ip(1-p)i-1i=p(1-p)i-1 (meint aber z.B. auch den Weg 1 mal Kopf und i-1 mal Zahl)

(1-p)i-1 müsste aber die Wahrscheinlichkeit dafür sein, dass i-1 mal hintereinander Zahl geworfen wird.
(1-p)i-1p1 sollte die Wahrscheinlichkeit dafür sein, dass i-1 mal hintereinander Zahl und bei i-ten mal Kopf geworfen wird, was auch KL700 bereits geschrieben hat.






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HAL9000

HAL9000

16:24 Uhr, 17.11.2024

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Zu d) Für k=1,2 ist A1B1=A2B1=, weil schlicht an zweiter Stelle nicht zugleich Z und K sein kann. Für k=3 repräsentiert A3B1 die Anfangssequenz KKZZZ der Münzwurffolge - was heißt das für deren Wahrscheinlichkeit?

Für k4 findet bei AkB1 keine Überlappung mehr statt der beiden Sequenzen KKZ und ZZZ, und das bedeutet...

Fisch18

Fisch18 aktiv_icon

16:48 Uhr, 17.11.2024

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Für k=3 überschneidet sich das letzte Z von KKZ und das erste Z von ZZZ.
Für k4 ist Ak unabhängig von B1?
Antwort
HAL9000

HAL9000

16:56 Uhr, 17.11.2024

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> Für k4 ist Ak unabhängig von B1?

Richtig.


Zu k=3 gehen deine Erkenntnisse ja nicht gerade darüber hinaus, was ich dazu schon geschrieben hatte - also nochmal detaillierter: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P(A3B1), und was bedeutet das hinsichtlich der Prüfung der Unabhängigkeit von A3 und B1 ?

Fisch18

Fisch18 aktiv_icon

17:06 Uhr, 17.11.2024

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Die Wahrscheinlichkeit von P(A3B1)=0, wegen der Überschneidung der Z und damit gilt nicht die Unabhängigkeit von A3 und B1.
Antwort
HAL9000

HAL9000

17:17 Uhr, 17.11.2024

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Nein: Es ist P(A3B1)=p2(1-p)3, weil das eben die Wahrscheinlichkeit der Anfangssequenz KKZZZ ist.

Richtig ist hingegen P(A1B1)=P(A2B1)=0.
Frage beantwortet
Fisch18

Fisch18 aktiv_icon

21:04 Uhr, 17.11.2024

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Okay, vielen Dank.