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Unfaire Münze wird geworfen

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Tags: Sonstig, Stochastik

Fisch18 aktiv_icon

10:43 Uhr, 17.11.2024

Hallo allerseits,
ich habe es mit folgender Aufgabe zu tun.
Eine unfaire Münze mit der Wahrscheinlichkeit

0 < p < 1

für ”Kopf“(

K

) und

1 - p

für
”Zahl“(

Z

) wird N-mal geworfen.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass im i-ten Wurf zum ersten Mal ”Kopf“ geworfen
wird (

i \leq N

).
b) Es sei

p_{N}

die Wahrscheinlichkeit, dass in

N

Münzwürfen nie ”Kopf“ geworfen wird.
Berechne

l i m_{n \to \infty} p_{N} .

c) Für

k \leq N - 2

sei

A_{k}

das Ereignis, dass beginnend mit dem k-ten Wurf die Sequenz

Z Z Z

geworfen wird und

B_{k}

das Ereignis, dass beginnend mit dem k-ten Wurf die Sequenz

K K Z

geworfen wird. Berechne die Wahrscheinlichkeiten von

A_{k}

und

B_{k}

.
d) Für welche k ist

A_{k}

unabhängig von

B_{1}

? Begründe Deine Antwort.

Bei der a) dachte ich mir das man die geometrische Verteilung anwenden könnte. Bei den anderen Aufgaben bräuchte ich einen Ansatz.

Über Hilfe würde ich mich freuen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

KL700 aktiv_icon

11:02 Uhr, 17.11.2024

a)

(i-1)-mal kommt Zahl, dann Kopf:

{(1 - p)}^{i - 1} \cdot p

b)

p < 1

ist, geht

p^{N}

gegen 0 nür

N \to \infty,

wie jeder Wert zwischen 0 und 1.

c)

Ein Zahlenbeispiel könnte helfen.

Joshua2 aktiv_icon

12:58 Uhr, 17.11.2024

a)

P = (i

über

1) \cdot p \cdot {(1 - p)}^{i - 1}

P = \frac{i!}{1! (i - 1)!} \cdot p \cdot {(1 - p)}^{i - 1}

P = i \cdot p \cdot {(1 - p)}^{i - 1}

berechnet die Wahrschenlichkeit, dass bei

i

Würfen genau 1 mal "Kopf" geworfen wird.
Da es

i

Wege gibt

P = i \cdot p \cdot \frac{{(1 - p)}^{i - 1}}{i} = p \cdot {(1 - p)}^{i - 1}

(meint aber

z . B

. auch den Weg 1 mal Kopf und

i - 1

mal Zahl)

{(1 - p)}^{i - 1}

müsste aber die Wahrscheinlichkeit dafür sein, dass

i - 1

mal hintereinander Zahl geworfen wird.

{(1 - p)}^{i - 1} \cdot p^{1}

sollte die Wahrscheinlichkeit dafür sein, dass

i - 1

mal hintereinander Zahl und bei i-ten mal Kopf geworfen wird, was auch KL700 bereits geschrieben hat.

HAL9000

16:24 Uhr, 17.11.2024

Zu d) Für

k = 1, 2

ist

A_{1} \cap B_{1} = A_{2} \cap B_{1} = \emptyset

, weil schlicht an zweiter Stelle nicht zugleich

Z

und

K

sein kann. Für

k = 3

repräsentiert

A_{3} \cap B_{1}

die Anfangssequenz

K K Z Z Z

der Münzwurffolge - was heißt das für deren Wahrscheinlichkeit?

Für

k \geq 4

findet bei

A_{k} \cap B_{1}

keine Überlappung mehr statt der beiden Sequenzen

K K Z

und

Z Z Z

, und das bedeutet...

Fisch18 aktiv_icon

16:48 Uhr, 17.11.2024

Für

k = 3

überschneidet sich das letzte

Z

von

K K Z

und das erste

Z

von

Z Z Z

.
Für

k \geq 4

ist

A_{k}

unabhängig von

B_{1}

HAL9000

16:56 Uhr, 17.11.2024

> Für

k \geq 4

ist

A_{k}

unabhängig von

B_{1}

?

Richtig.

Zu

k = 3

gehen deine Erkenntnisse ja nicht gerade darüber hinaus, was ich dazu schon geschrieben hatte - also nochmal detaillierter: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit

P (A_{3} \cap B_{1})

, und was bedeutet das hinsichtlich der Prüfung der Unabhängigkeit von

A_{3}

und

B_{1}

Fisch18 aktiv_icon

17:06 Uhr, 17.11.2024

Die Wahrscheinlichkeit von

P (A_{3} \cap B_{1}) = 0

, wegen der Überschneidung der

Z

und damit gilt nicht die Unabhängigkeit von

A_{3}

und

B_{1}

HAL9000

17:17 Uhr, 17.11.2024

Nein: Es ist

P (A_{3} \cap B_{1}) = p^{2} {(1 - p)}^{3}

, weil das eben die Wahrscheinlichkeit der Anfangssequenz

K K Z Z Z

ist.

Richtig ist hingegen

P (A_{1} \cap B_{1}) = P (A_{2} \cap B_{1}) = 0

Fisch18 aktiv_icon

21:04 Uhr, 17.11.2024

Okay, vielen Dank.

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