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Ungleichung

Schüler Sonstige,

Tags: Betrag, Bruch, Ungleichung

Pir4nh4 aktiv_icon

08:32 Uhr, 10.01.2025

kann mir das jemand erklären.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

calc007

08:53 Uhr, 10.01.2025

Hallo
Ich würde empfehlen, Schritt für Schritt vorzugehen.
Du kannst die Aufgaben-Relation ja in zwei Teil-Relationen aufteilen:

a .)

x < \frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}

b .)

| 2 - 2 \cdot x | < x

. .

. schon wird's ein wenig übersichtlicher.

zu

a .)

x < \frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}

Na, ist das schwer?
Brauchst du wirklich noch einen Tipp?
Dann - würde ich: ganze Relation minus

\frac{1}{2} \cdot x

grafisch:
Kannst du den Wert des links-seitigen Ausdrucks mal in ein Koordinatensystem skizzieren.
f_links(x)

= x

Kannst du den Wert des links-seitigen Ausdrucks mal in ein Koordinatensystem skizzieren.
f_rechts(x)

= \frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}

Na, wo sind die links-seitigen kleiner als die rechts-seitigen?

zu

b .)

| 2 - 2 \cdot x | < x

Wo ist die Grenze zwischen positiven und negativen Betrags-Argumenten?
Wo ist der Ausdruck im Betrag (das Betrags-Argument) positiv?
Wo ist der Ausdruck im Betrag (das Betrags-Argument) negativ?

grafisch:
Kannst du den Wert des links-seitigen Ausdrucks mal in ein Koordinatensystem skizzieren.
f_links(x)

= | 2 - 2 \cdot x |

Kannst du den Wert des links-seitigen Ausdrucks mal in ein Koordinatensystem skizzieren.
f_rechts(x)

= x

Na, wo sind die links-seitigen kleiner als die rechts-seitigen?

KL700 aktiv_icon

08:57 Uhr, 10.01.2025

´2 Ungleichungen bilden und lösen:

| 2 x + 2 | < x

Fallunterscheidung:

a) x \geq - 1

b) x < - 1

x < \frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{2}

Vereinige dann die Lösungsmengen.

HAL9000

14:29 Uhr, 10.01.2025

Fangen wir gleich mit 2. an:

a)

∣ - 2 x + c ∣ < x

ist gleichbedeutend mit

- x < - 2 x + c < x

, umgeformt

\frac{c}{3} < x < c

, was nur für

c > 0

die nichtleere Lösungsmenge

(\frac{c}{3}, c)

ergibt.

b)

x < \frac{1}{2} x + \frac{1}{c}

ergibt umgeformt

x < \frac{2}{c}

und damit die Lösungsmenge

(- \infty, \frac{2}{c})

Für die Doppelungleichung ergibt das Lösungsmenge

L = (\frac{c}{3}, c) \cap (- \infty, \frac{2}{c}) = {\begin{array}{ll} (\frac{c}{3}, c) & für 0 < c < \sqrt{2} \\ (\frac{c}{3}, \frac{2}{c}) & für \sqrt{2} \leq c < \sqrt{6} \\ \emptyset & sonst, wobei Parameter c = 0 nicht erlaubt ist \end{array}

HAL9000

10:06 Uhr, 15.01.2025

Mal eine Frage an die Forumbetreiber: Was bewirkt, dass dieser Thread mehrfach nach vorn gerutscht ist (aktuell stand da "vor 1 Std"), obwohl seit 5 Tagen kein neuer Post erschienen ist und ich als letzter Poster ihn auch nicht editiert hatte?

Und der Thread zudem garniert war mit "Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat."

mathadvisor aktiv_icon

12:44 Uhr, 15.01.2025

Ich hatte auf die falsche Antwort von KL700 hingewiesen, dieser Hinweis wurde aber - von wem auch immer - gelöscht, und diese Löschung bewirkte auch Aktualisieren der letzten Aktivität und damit das Hochrutschen. Das war nach Deinem vorigen Post "Fangen wir gleich...", aber noch vor der Garnierung mit kein Interesse mehr.

HAL9000

13:18 Uhr, 15.01.2025

Ja, seltsam: Das falsche

∣ 2 x + 2 ∣ < x

∣ - 2 x + 2 ∣ < x

zu korrigieren sollte doch ein legitimes Anliegen sein.

Pir4nh4 aktiv_icon

07:52 Uhr, 17.01.2025

Vielen Dank für die Hilfe! Tut mir leid das ich erst jetzt wieder reagiere aber es war mir zeitlich nicht möglich.

Ich konnte die Aufgabe mit eurer Hilfe nachvollziehen... bis auf

L=

{

█((c/3,c) für 0<c<√2@(c/3,2/c) für √2≤c< √6@c≠0)┤

wo kommen die Bedingungen für

0 < c <

Wurzel 2 und
für Wurzel 2 kleiner gleich

c

kleiner Wurzel 6

HAL9000

09:42 Uhr, 17.01.2025

Der Wert für den rechten Intervallrandpunkt ist wegen des Intervalldurchschnitts gleich

min {c, \frac{2}{c}}

. Je nach Wert von

c

ist das mal der eine, mal der andere Term, und das lässt sich genau feststellen:

Es ist

\frac{2}{c}

, wenn

c \geq \frac{2}{c}

gilt, was für

c > 0

umgestellt bedeutet

c^{2} \geq 2

bzw. eben

c \geq \sqrt{2}

. Im anderen Fall

c < \sqrt{2}

ist das Minimum dann eben

c

.

Ok, wir haben also festgestellt, dass im Fall

c \geq \sqrt{2}

das Lösungsintervall

(\frac{c}{3}, \frac{2}{c})

ist - aber nur dann, wenn für die Intervallgrenzen auch wirklich

\frac{c}{3} < \frac{2}{c}

gilt. Diese Bedingung umgestellt ergibt

c^{2} < 6

, also

c < \sqrt{6}

.

P.S.: Für das andere Intervall

(\frac{c}{3}, c)

im Fall

0 < c < \sqrt{2}

existiert letzteres Problem nicht: Da ist stets

\frac{c}{3} < c

Pir4nh4 aktiv_icon

16:50 Uhr, 17.01.2025

Danke mal wieder für den schnellen Versuch mir das zu erklären. Vielleicht bin ich zu blöd oder mich verwirrt das

c

zu sehr... kann ich für

c

auch

y

nehmen um das ganze grafisch in einem Koordinatensystem darzustellen? Oder ist das hier bei der zwei nicht möglich?

HAL9000

17:45 Uhr, 17.01.2025

In der Grafik habe ich die Lösungsmenge abgebildet: D.h. die

(c, x)

im Inneren der umrandeten Fläche kennzeichnen die Lösungen

x

der Ungleichung für Parameter

c

1589474

1589343

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