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Ungleichung Arithmetisches u Geometrisches Mittel

Universität / Fachhochschule

Tags: Ungleichung

netcrack aktiv_icon

14:59 Uhr, 16.10.2012

Moin moin,

Ich brauch mal wieder ein bisschen Hilfe. Der im beigefügten Bild geführte Beweis wird mir einfach nicht klar. Ich verstehe die Vorgehensweise nicht. Was soll diese Definition von a und von x?? Vielleicht kann mir ja jemand auf die Spünge helfen?

Danke schon mal für die Hilfe.

mfg
ich

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

gaga68 aktiv_icon

15:24 Uhr, 16.10.2012

Hi,

die beiden Größen x und

α

wurden deswegen eingeführt um die Bernoullische Ugl. benutzen zu können.
Siehe: de.wikipedia.org/wiki/Bernoullische_Ungleichung

Evtl. hilft es Dir wenn Du den Schritt von der Definition von x und

α

und der Anwendung er Ungleichung explizit hinschreibst und ausführlich die weggelassenen Umformungen durchführst.

netcrack aktiv_icon

15:42 Uhr, 16.10.2012

Hi gaga68,

genau das habe ich schon versucht... aber bei mir scheitert dies daran, dass ich mir bei manchen Formulierungen nicht ganz sicher bin. z.B.

a := \frac{a_{1} + \dots + a_{n}}{n} \leq a_{n + 1}

Mir ist klar wenn

\frac{a_{1} + \dots + a_{n}}{n} < a_{n}

dann erst recht

\frac{a_{1} + \dots + a_{n}}{n} < a_{n + 1}

aber muss ich jetzt bei x für jedes a den hier definierten bruch einsetzen? oder wie ist das gemeint? Und was muss ich das nach dieser definition für

a_{n + 1}

einsetzen?

gaga68 aktiv_icon

16:02 Uhr, 16.10.2012

Ich gehe mal davon aus, dass im Satz 7.2 gezeigt wurde, dass das aritmetische Mittel von n Zahlen

\leq a_{n + 1}

ist wenn für alle n gilt

a_{n} \leq a_{n + 1}

.

Damit gilt die Ungleichung in der Definition von

α

.

Stellst dann damit und dem x die Bernoulli Ugl. auf, dann setzt Du die Ind. Vor. ein und rechnest weiter.

netcrack aktiv_icon

16:49 Uhr, 16.10.2012

Nein in 7.2 ist einfach nur die Bernoullische UG.
Im Satz 12.1 steht

Sind

p_{1}, . . ., p_{n}

positive Zahlen, so ist

min (a_{1}, \dots, a_{n}) \leq \frac{p_{1} a_{1} + \dots + p_{n} a_{n}}{p_{1} + \dots + p_{n}} \leq m a x (a_{1}, . . ., a_{n})

Für

p_{1} = \dots = p_{n} = 1

folgt dann

a_{1} \leq \frac{a_{1} + \dots + a_{n}}{n} \leq a_{n}

Da hier mit min u max gearbeitet wird kann man vielleicht daraus schliesen das

a_{1} \leq a_{n + 1}

?
Jetzt versteht ich aber trotzdem noch nicht warum hier a eingefürt wird? Bzw versteht ich die vorgehensweise nicht...
Wie komme ich auf die def von x? muss ich einfach bei

(1 + x)^{n + 1}

für x das

\frac{a_{n + 1} - a}{(n + 1) a}

einsetzen??

gaga68 aktiv_icon

08:59 Uhr, 17.10.2012

Am Anfang des Beweises hatte man doch ohne Beschränkung der Allgemeinheit (oBdA) angenommen, dass

a_{n} \leq a_{n + 1}

.
mit Satz 12.1 haben wir dann erreicht, dass wir mit

a_{n + 1}

eine obere Schranke für das arithemetische Mittel gefunden haben.
Denn, wenn für alle n

a_{n} \leq a_{n + 1}

ist, dann ist auch deren Maximum

\leq a_{n + 1}

für die Anwendung der Bernoulli Ugl. benötigen wir etwas, also ein

x \geq - 1

und ein

n \geq 1

damit wir sie anwenden können.
Also suchen wir aus dem was wir hier schon haben die Sachen heraus, die helfen und bauen daraus ein x, von dem wir wissen, dass es sogar

\geq 0

ist.
d.h. wir suchen ein x, das so geartet ist, dass wir auf der linken Seite (zumindest in diesem Beweis die linke Seite) der Ugl. die Induktionshypothese einsetzen können.
Ich habe gerade auf Papier eine kl. Rechnugn gemacht, d.h. habe einfach für die linke Seite

1 + x

explizit ohne die Abkürzung

α

hingeschrieben und ausgerechnet, dann bleibt in der Tat die linke Seite in der letzten Zeile übrig.
D.h. die Motivation für x war doch etwas zu finden, was durch eine Addition

+ 1

die rechte Seite der Behauptung für n+1 dastehen läßt. Mit dem kleinen Schönheitsfehler, dass da noch

()^{n + 1}

steht. Dabei hilft aber Bernoulli. Nun noch ausmultiplizieren und bei

α^{n}

ganz viele positive Terme und Koeffizienten weglassen, da wir ja dann immer noch größer sind als ein gemischter Term ohne Koeffizient.

Sorry, falls meine Orthographie schlecht ist, aber morgens tippen ist mühsam. ;-)

netcrack aktiv_icon

12:36 Uhr, 17.10.2012

Guten Morgen gaga68,

danke für deine ausfürliche Antwort. Auch auf die Gefahr hin, dir möglicherweise langsam auf den Nerv zu gehen, habe ich dennoch einige Rückfragen.

Das mit der Oberen schranke hätte ich da so nie rausgelesen, aber logisch ist das schon ^^.

Mir will es einfach nicht in dien kopf gehen, wie ich von der Induktionshypothese

a_{1} \dots a_{n} \leq (\frac{a_{1} + \dots + a_{n}}{n})

{(\frac{a_{1} + \dots + a_{n + 1}}{(n + 1) a n})}^{n + 1} = (1 + x)^{n + 1}

komme. Müsse nicht auch durch einsetzen von

x := \frac{a_{n + 1} - a}{(n + 1) a}

in den Term

1 + x

wieder

(\frac{a_{1} + \dots + a_{n + 1}}{(n + 1) a n})

herauskommen?

PS:
Orthographie halte ich sowieso für überschätzt, solange man versteht was gemeint ist ;-)

gaga68 aktiv_icon

13:34 Uhr, 17.10.2012

Auf den Nerv gehen ..., wenn es mich nerven würde bräuchte ich ja nicht antworten.
Außerdem finde ich die Frage spannend.

Also mein Argument bzgl. der oberen Schranke hast Du nachvollziehen können,wie ich Deiner Rückfrage entnehme.

Ich denke Du konntest auch nachrechnen, dass mit der Definition von x folgende Ungleichung dasteht:

(\frac{a_{1} + . . . + a_{n + 1}}{(n + 1) α})^{n + 1} \geq \frac{a_{n + 1}}{α}

nun bringt man

α^{n + 1}

auf die rechte Seite und erhält

α^{n} \cdot a_{n + 1}

α^{n} = (\frac{a_{1} + . . . + a_{n}}{n})^{n}

daruf dürfen wir aber die Induktionshypothese anwenden, da wir ja annehmen, dass wir die Richtigkeit für ein n schon gezeigt haben.

also

α^{n} = (\frac{a_{1} + . . . + a_{n}}{n})^{n} \geq a_{1} \cdot \cdot \cdot a_{n}

und damit haben wir den Beweis fertig.

Wenn noch was unklar ist einfach nochmal fragen.

netcrack aktiv_icon

14:25 Uhr, 17.10.2012

ich versteht nicht wie man überhaupt auf

(\frac{a_{1} + \dots + a_{n}}{(n + 1) a})

ins besondere macht verstehe ich das a im Nenner nicht.

gaga68 aktiv_icon

14:56 Uhr, 17.10.2012

OK

das war was ich vorher meinte mit: Versuche (1+x) zu berechnen.

Also bei mir ist das so:

1 + x = 1 + \frac{a_{n + 1} - α}{(n + 1) \cdot α} = \frac{(n + 1) α + a_{n + 1} - α}{(n + 1) \cdot α} = \frac{n \cdot α + α + a_{n + 1} - α}{(n + 1) \cdot α} = \frac{n \cdot α + a_{n + 1}}{(n + 1) \cdot α}

So nun im Zähler

α

einsetzen:

\frac{n \cdot α + a_{n + 1}}{(n + 1) \cdot α}

\frac{n \cdot \frac{a_{1} + . . . + a_{n}}{n} + a_{n + 1}}{(n + 1) α} = \frac{a_{1} + . . . + a_{n + 1}}{(n + 1) α}

Das wollten wir doch dastehen haben.

netcrack aktiv_icon

09:57 Uhr, 18.10.2012

Hi Gaga68,

Sorry das ich erst heute zurück schreibe.
Danke für deine Hilfe. Ich glaube jetzt ist alles klar, ich kann es nur nicht nachrechnen da mir heute die Zeit fehlt. Mein Problem war saß ich nicht wusste das man in der def von x das zuvor definierte a einsetzen muss...

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