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Ungleichung: Bruch+Betrag - wie lösen?

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Betrag, Brüche, Bruchungleichung, Sonstiges, Ungleichungen

BussiibaerLii aktiv_icon

17:50 Uhr, 04.03.2011

Hallo an alle, ich hab am Mittwoch das erste Mal was von Bruchungleichungen bzw. Betragsungleichungen gelernt und kriege das Bsp einfach nicht hin, ich bin für jede Hilfe dankbar..

Also das Bsp lautet:

\frac{| 3 x - 18 |}{| x - 8 |} < 2

Mich verwirrt da einfach etwas total: wenn der gesamte bruch als betrag definiert ist, wie ist dan die Rechenfolge? Wird zuerst eine fallunterscheidung für den nenner durchgeführt bzw wie wird vorgegangen?

Kurz gesagt: Ich weiß, wie man Beträge bei ungleichungen behandelt und dasselbe gilt für Bruchungleichungen, jedoch frag ich mich, wie ich vorgehen muss, wenn ein Bruch ein Betrag ist!

Ich bin für jede Hilfe dankbar und hoffe, die Frage ist nicht zu blöd

=) .

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Addition von Brüchen
Brüche - Einführung
Dezimalbrüche - Einführung
Multiplikation und Division von Brüchen
Subtraktion von Brüchen

Shipwater aktiv_icon

18:26 Uhr, 04.03.2011

Für

x > 8

sind beide Betragsargumente positiv und deshalb gilt dann:

\frac{3 x - 18}{x - 8} < 2

Für

6 \leq x < 8

ist

3 x - 18

nichtnegativ, aber

x - 8

negativ und deshalb gilt dann:

\frac{3 x - 18}{8 - x} < 2

Für

x < 6

sind beide Betragsargumente negativ und deshalb gilt dann:

\frac{18 - 3 x}{8 - x} < 2

Die einzelnen Ungleichungen musst du jetzt in den entsprechenden Intervallen lösen und die Lösungsmengen dann vereinigen.
Meine Lösung:

L = {x | 2 < x < \frac{34}{5}}

Gruß Shipwater

NW90a aktiv_icon

20:07 Uhr, 04.03.2011

1. Für jeden aufzulösenden Betrag

| a |

müssen zwei Fälle betrachtet werden:

a \geq 0

und

a < 0

(bzw. geht natürlich auch

a > 0

und

a \leq 0)

2. Nenner dürfen nicht 0 sein. Ist der Nenner also ein Betrag

| a |

kann die Gleichheit auch sofort entfallen, sodass nur zwischen

a > 0

und

a < 0

unterschieden werden muss.

Ob man jetzt erst den Nenner "auflöst":

| 3 x - 18 | < 2 | x - 8 |

oder erst die Beträge ist völlig egal. Wichtig ist nur: Sobald man mit einer negativen Zahl multipliziert/dividiert kehrt sich das Relationszeichen um

(\leq

\geq; <

>

bzw. umgekehrt; = und

\neq

bleiben natürlich).

Tipp: Erst die Fallunterscheidung durchführen, also die Intervalle betrachten, dann

x

ausrechnen. Grund: Bei

z

. B. 4 Fällen entfällt immer einer schon vorher bei der Intervallbetrachtung, sodass man sich das ausrechnen sparen kann.

1. Fall

3 x - 18 \geq 0

und

x - 8 > 0

\to x \geq 6

und

x > 8

\to x > 8

2. Fall

3 x - 18 < 0

und

x - 8 > 0

\to x < 6

und

x > 8

\to

leere Menge (Fall entfällt)

3. Fall

3 x - 18 \geq 0

und

x - 8 < 0

\to x \geq 6

und

x < 8

\to 6 \leq x < 8

4. Fall

3 x - 18 < 0

und

x - 8 < 0

\to x < 6

und

x < 8

\to x < 6

Jetzt die Beträge entsprechend des jeweiligen Falls auflösen und

x

ausrechnen:

1. Fall

\frac{3 x - 18}{x - 8} < 2

\to 3 x - 18 < 2 x - 16

\to x < 2

2. Fall entfällt

3. Fall

\frac{3 x - 18}{- (x - 8)} < 2

\to 3 x - 18 < 16 - 2 x

\to x < \frac{34}{5}

4. Fall

\frac{- (3 x - 18)}{- (x - 8)} < 2

\to 18 - 3 x < 16 - 2 x

\to x > 2

Die Lösungen müssen natürlich im jeweiligen Betrachtungsbereich liegen:

1. Fall

x > 8

und

x < 2

\to

leere Menge

3. Fall

6 \leq x < 8

und

x < \frac{34}{5}

\to 6 \leq x < \frac{34}{5}

4. Fall

x < 6

und

x > 2

\to 2 < x < 6

Alle Endergebnisse der einzelnen Bereiche müssen nun nur noch zu einer Gesamtlösungsmenge vereinigt werden:

6 \leq x < \frac{34}{5}

oder

2 < x < 6

\to 2 < x < \frac{34}{5}

Shipwater aktiv_icon

20:16 Uhr, 04.03.2011

"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Schön, dass du dir Mühe gemacht hast, aber wie sagt man so schön:
Gib einem Mann einen Fisch, und Du ernährst ihn für einen Tag.
Lehre ihn das Fischen, und Du ernährst ihn für sein ganzes Leben.
(Aber schön, dass wir das selbe Ergebnis erhalten)

NW90a aktiv_icon

20:26 Uhr, 04.03.2011

@shipwater

Ich habe auch manchmal nur Lösungsansätze geschrieben und jemand anderes dann danach die komplette Lösung. Es gibt Fragen, da bieten sich Lösungsansätze an. Aber in dem Fall bezweifle ich, dass dein kurzer Lösungsansatz wirklich weiter hilft. Denn er ist nicht wirklich erklärend

(z

. B. "... nicht negativ, aber x−8 negativ und deshalb gilt dann ..." - wieso "und deshalb"? Weshalb denn?). Überhaupt ist es meiner Meinung nach in dem Fall besser ein Beispiel komplett zu lösen, nachvollziehen zu lassen und ggf. Rückfragen zu beantworten, wenn irgendwas unklar ist. Das ist auch eine Form von "in Zusammenarbeit".
Darüber hinaus steht es der/dem Fragenden frei inwieweit er die Lösung wirklich durchliest oder nur das, was ich oben als Erklärung geschrieben habe und sich dann selbst an einer Lösung versucht. Oder die Lösung anfängt zu lesen und nach dem sogenannte "aha"-Effekt eigenständig weiterrechnet.

Shipwater aktiv_icon

21:36 Uhr, 04.03.2011

Hab ich schon mit Absicht so formuliert. Der Threadersteller soll ja auch selber darüber nachdenken. Denn nur so kann er meiner Meinung nach wirklich dazu lernen. Falls er es noch nicht ganz verstanden hat, kann er ja immer noch fragen und dann kann man es ihm ja immer noch erklären. Und das ist auch bestimmt nicht die erste Betragsungleichung, die der Threadersteller lösen möchte. Falls doch gibt es ja auch Mathebücher und das Internet, womit man sich das Nötigste aneignen kann. Von daher denke ich, dass die Grundlagen schon da sind, um meinem Beitrag folgen zu können. Es ist doch immer schöner selbst auf ein Ergebnis zu kommen, als wenn es einem einfach vorgerechnet wird. Vielleicht hat der Threadersteller auch noch irgendwelche Schwierigkeiten, die sich im Laufe des Threads herausgestellt hätten. Aber naja da haben wir dann wohl einfach unterschiedliche Meinungen zu. Kommt ja auch immer auf den genauen Fall an.

BussiibaerLii aktiv_icon

15:02 Uhr, 05.03.2011

Hallo!

Also vielen Dank für beide Antworten, schön, dass es leute gibt, die so hilfsbereit sind! In diesem Fall hat mir die 2. Antwort jedoch etwas mehr geholfen - aber nicht, weil ich die Lösung habe, sondern weil ich jetzt weiß, warum ichs nicht zusammengebracht habe.. Wir haben so ein Bsp mit mehr als 2 Fällen in den 2 stunden noch nicht gemacht haben und der prof ws testen wollte, wers trotzdem schafft -.-

Aber danke nochmal an alle, hat mir viel weitergeholfen!

Shipwater aktiv_icon

15:07 Uhr, 05.03.2011

Klar hilft dir die zweite Antwort mehr, weil dort einfach mehr steht und auch schon alles vorgerechnet wurde. Du scheinst aber zu den Personen zu gehören, die sich solche kompletten Lösungswege auch durchlesen und versuchen diese mit aller Kraft zu verstehen. Deshalb hat der komplette Lösungsweg hier wirklich Sinn ergeben. Anders wäre es bei jemandem der zum Beispiel nur keine Lust hat seine Hausaufgaben zu machen und den kompletten Lösungsweg dann einfach übernimmt, ohne ihn zu verstehen.
Fazit: Ihr habt mich überzeugt ;-)

NW90a aktiv_icon

15:55 Uhr, 05.03.2011

Nunja, sie ist Studentin. Einen gewissen Ehrgeiz für die hoffentlich frei gewählte Studienrichtung habe ich ihr schon zugetraut. ;-)
Studenten, die keine Lust haben eine Aufgabe zu lösen, machen die Hausaufgabe wohl einfach gar nicht erst und würden hier eher nicht fragen, wenn sie es nicht verstehen wollen.

Shipwater aktiv_icon

16:14 Uhr, 05.03.2011

Kommt ganz darauf an, was sie studiert. Auch in anderen Studiengängen als Mathematik wird man manchmal zu einem bisschen Mathe "gezwungen". Hier im Forum gibt es aber leider auch ganz andere Fragesteller. :-) Naja hat ja jetzt alles geklappt.

BussiibaerLii aktiv_icon

17:45 Uhr, 05.03.2011

Ja also ich studier BWL und muss halt einen Mathe Kurs machen und ich setz mich nach der Stunde immer nochmal hin und les mir alles durch und mach auch die Beispiele und wenn ich dann eins nicht schaff, will ich halt wissen, was dabei mein Fehler ist und warums mir so schwer vorkommt ^^..

Aber wie schon gesagt, wir habns in der Form halt in den 2 Einführungsstunden noch nicht wirklich gemacht, deshalb bin ich jetzt auch etwas erleichtert, warum ich selber nicht hinkriegt hab - die Antwort war trotzdem sehr nachvollziehbar und

danke nochmal euch 2 =)!

Shipwater aktiv_icon

17:49 Uhr, 05.03.2011

Na dann mal ein Hoch auf deinen Ehrgeiz. :-)

BussiibaerLii aktiv_icon

21:32 Uhr, 05.03.2011

Danke =).. Das selbe an euch

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