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Ungleichung mit 2 Brüchen, ratlos!

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Brüche, Sonstiges, Ungleichung, Ungleichungen

ds8411 aktiv_icon

20:24 Uhr, 09.09.2009

Hallo an alle,
bin durch Oberprima hier ans Forum gekommen und find´s toll das es sowas überhaupt gibt um sich gegenseitig zu helfen.
Bei Oberprima habe ich leider kein Viedeo passend zu dieser Aufgabe gefunden. Bin an dieser Aufgabe schon etwas länger dran, und weiß leider nicht richtig weiter. Die Lösung selber habe ich, finde aber keinen plausiblen Rechenweg bis zur Lösung.
Gegeben ist die Ungleichung:

\frac{6 x + 2}{3 x - 3} < \frac{4 x + 1}{2 x + 1}

ich versuche erst immer den rechten Teil der Ungleichung rüber zu holen, also erstmal

- \frac{4 x + 1}{2 x + 1}

.

somit

\frac{6 x + 2}{3 x - 3} - \frac{4 x + 1}{2 x + 1} < 0

dann bring ich die ganze Sache auf einen Nenner

\frac{(6 x + 2) (2 x + 1) - (4 x + 1) (3 x - 3)}{(3 x - 3) (2 x + 1)} < 0

hier habe ich ja schonmal den Einheitsnenner

(3 x - 3) (2 x + 1)

kürze ich jetzt die Binome im Zähler weg dann bleibt über:

\frac{15 x + 4}{(3 x - 3) (2 x + 1)} < 0

Meine Frage lautet hier, wie ich jetzt vorgehen müsste? Müsste ich jetzt erst den nenner erst einmal Negativ und dann einmal Positiv setzen für eine Fallunterscheidung? sprich so:

(3 x - 3) (2 x + 1) < 0

und einmal

(3 x - 3) (2 x + 1) > 0

oder reicht es aus wenn ich schon von Anfang an sage
Definitionsmenge

D = x

element

R

ausser

{\frac{2}{3}; - \frac{1}{2}}

? Da hier die Division durch 0 ja schon nicht geht?
Die Lösung liegt bestimmt logisch auf der Hand, aber vor lauter Bäumen seh ich glaub ich nix mehr...
Vielen Dank für eure Hilfe im Vorraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Addition von Brüchen
Brüche - Einführung
Dezimalbrüche - Einführung
Multiplikation und Division von Brüchen
Subtraktion von Brüchen

Maulwurf567 aktiv_icon

20:57 Uhr, 09.09.2009

Du hast richtig erkannt dass du Elemente aus der Definitionsmenge ausschließen musst, um eine Division durch 0 zu vermeiden. Allerdings komme ich auf

D = ℝ

\(1,-1/2). Wie kommst du auf

\frac{2}{3}

?

Als nächstes multiplizierst du mit den Nennern (die jetzt ja nicht mehr 0 sein können) und musst folgende Fallunterscheidungen durchführen:

1)Beide postiv ->keine Änderung des Ungleichheitszeichens

2)Eins negativ, eines positiv

\to

Das Zeichen dreht sich um

3)Beide negativ

\to

Das Zeichen dreht sich 2mal um, bleibt also im Endeffekt gleich

Beachte dass die Ergebnisse den Einschränkungen der Unterscheidungen genügen müssen. Das Endergebnis ist dann die Vereinigung der 3 Mengen.

LG Maulwurf

ds8411 aktiv_icon

11:31 Uhr, 11.09.2009

Danke erstmal für die Antwort.
Hast recht, habe mich nämlich in der Aufgabe verschrieben.

(\frac{6 x + 2}{3 x - 2}) < (\frac{4 x + 1}{2 x + 1})

ist richtig, deswegen kam ich drauf

D = x e R {\frac{2}{3}; - \frac{1}{2}}

Wenn ich nun aber hier wieder angelangt bin:

\frac{15 x + 4}{(3 x - 2) (2 x + 1)} < 0

und ich im ersten Fall davon ausgehe das beides positiv ist, habe ich

15 x + 4 < (3 x - 2) (2 x + 1)

15 x + 4 < 6 x^{2} - 1 x - 2

0 < 6 x^{2} - 16 x - 6

Der 2. Fall wäre dann ja (beides Negativ):

0 > 6 x^{2} - 14 x - 6

Eigentlich reichen diese beiden Fälle doch, oder? Einmal negativ und einmal positiv da sich das Vorzeichen eh nicht mehr ändern kann, oder?

Diese beiden quadratischen ungleichungen jetzt mit der PQ-Formel auflösen.
Danke

Maulwurf567 aktiv_icon

15:19 Uhr, 11.09.2009

Wenn du mit dem Nenner multiplizierst bleibt auf der rechten Seite null!

Ansonsten sind deine 2 Gleichungen richtig, allerdings stimmen die Vorraussetzungen nicht.

Im ersten Fall ist es egal ob beide positiv oder negativ, das Zeichen bleibt gleich.

Im 2. Fall ändert sich das Zeichen, allerdings dann wenn eines negativ und eines positiv ist. (Nicht wenn beide negativ, weil

- \cdot - = +)

LG Maulwurf

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