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Ungleichung mit Umordnung lösen

Universität / Fachhochschule

Elementare Zahlentheorie

Tags: Elementare Zahlentheorie, Umordnung, Ungleichung

anonymous

21:00 Uhr, 23.02.2012

Hallo, ich soll die Ungleichung

\frac{x}{5 y + 7 z} + \frac{y}{5 z + 7 x} + \frac{z}{5 x + 7 y} \geq \frac{1}{4}

beweisen.
Ich habe sogar schon eine Lösung gefunden, allerdings ist mir aufgefallen, dass der Ausdruck

\frac{1}{4} = \frac{x}{5 x + 7 x} + \frac{y}{5 y + 7 y} + \frac{z}{5 z + 7 z}

ja doch stark dazu verleitet, die gegebene Ungleichung mit Umordnungsungleichungen zu lösen. Bei der Annahme

x \geq y \geq z

ist sogar logisch, warum

\frac{x}{5 y + 7 z} + \frac{y}{5 z + 7 x} + \frac{z}{5 x + 7 y} \geq \frac{x}{5 x + 7 x} + \frac{y}{5 y + 7 y} + \frac{z}{5 z + 7 z}

gilt. Kann jemand einen "formalen" Beweis angeben bzw. einen Lösungsansatz?
Danke!

EDIT: das ist jetzt ziemlich komisch formatiert, oder sieht das nur auf meinem Rechner so aus? Zur Sicherheit habe ich mal das Bild der Vorschau angehängt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Bummerang

10:02 Uhr, 24.02.2012

Hallo,

für

x, y

und

z

müssen doch irgendwelche Einschränkungen gelten, denn wenn mindestens zwei der Werte gleich Null sind, dann ist mindestens einer der drei Summanden nicht definiert! Also gib hier mal die in der Originalaufgabe stehenden Definitionsbereiche für

x, y

und

z

an!

anonymous

16:24 Uhr, 24.02.2012

Ach so, genau, ich habe vergessen dazuzuschreiben, dass die Ungleichung für

x, y, z \in ℝ > 0

definiert ist, tut mir Leid.

pleindespoir aktiv_icon

15:06 Uhr, 26.02.2012

\frac{x}{5 y + 7 z} + \frac{y}{5 z + 7 x} + \frac{z}{5 x + 7 y} \geq \frac{1}{4}

Mein Vorschlag dazu lautet wie folgt:
zunächst stelle ich das als Funktion dar:

f (x, y, z) = \frac{x}{5 y + 7 z} + \frac{y}{5 z + 7 x} + \frac{z}{5 x + 7 y}

von dieser Funktion überlege ich wie ich an den kleinsten Wert komme, den sie haben könnte ... und mir fällt ein, dass man ja Extrema suchen kann - vielleicht ist ein Minimum dabei. Dazu leite ich partiell ab und suche die Nullstellen der Ableitungen:

\frac{\partial f (x, y, z)}{\partial x} = 0

\frac{\partial f (x, y, z)}{\partial y} = 0

\frac{\partial f (x, y, z)}{\partial z} = 0

Sobald man die Nullstellen der Ableitungen hat, kann man die in die Funktion einsetzen (vorher prüfen ob's auch Minima sind) und erhält den Funktionswert des Minimums.

Dann vergleichen ob dieses Minimum grössergleich Einviertel ist.

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