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Ungleichung mit komplexen Zahlen in Betrag

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

birdbox

22:13 Uhr, 25.10.2016

Hallo ich hab hier eine Angabe:

Beschreiben und skizzieren Sie in der Gaußschen Zahlenebene die Menge aller

z \in ℂ

, welche die folgende Bedingung erfüllt:

∣ z - i ∣ + ∣ z + i ∣ \leq 4

Ich habs mal soweit gebracht:

∣ z - i ∣ + ∣ z + i ∣ \leq 4 \equiv

∣ x + y i - i ∣ + ∣ x + y i + i ∣ \leq 4 \equiv

∣ x + (y - 1) i ∣ + ∣ x + (y + 1) i ∣ \leq 4 \equiv

(umformen lt. Definition von Betrag)

\sqrt{x^{2} + (y - 1)^{2}} + \sqrt{x^{2} + (y + 1)^{2}} \leq 4 \equiv

(quadrieren)

x^{2} + y^{2} - 2 y + 1 + x^{2} + y + 2 y + 1 \leq 16 \equiv

2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 \leq 16

(durch 2 teilen)

x^{2} + y^{2} + 1 \leq 8 \equiv

x^{2} + y^{2} \leq 7

Ich weiß nicht wie ich weiter machen soll, außerdem kenne ich eine Lösung wo eine Elipse rauskommt, wenn ich das so bei Wolfram eingebe, kommt ein Kreis heraus und wenn ich die Anfangs-Ungleichung bei Wolfram eingebe, kommt eine nach oben geöffnete Parabel raus.

Freue mich auf Antworten.
LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

abakus

22:18 Uhr, 25.10.2016

Hallo birdbox,
beim Quadrieren einer Summe entsteht laut binomischer Formel auch jeweils ein doppeltes Produkt, was du jeweils vergessen hast.

birdbox

22:26 Uhr, 25.10.2016

Ups bin ich doof, danke!!!

ermanus aktiv_icon

22:30 Uhr, 25.10.2016

Da hier steht, dass die Summe der Abstände von

z

zu den "Punkten"

i

und

- i

kleiner oder gleich der Konstanten

4

sein soll, ergibt sich in der Tat
eine Ellipse mit den Brennpunkten

i

und

- i

, die also sozusagen "senkrecht" steht,
zusammen mit ihren inneren Punkten.
Die senkrechte Halbachse ist

a = 2

, die waagrechte Halbachse

b = \sqrt{3}

.

Bin leider heute Abend zu faul zum Weiter-Rechnen, aber für ein wenig Geometrie hat's
noch gereicht.

Gruß ermanus

birdbox

23:16 Uhr, 25.10.2016

Danke für eure Antworten, ich habe es jetzt noch mal richtig nachgerechnet und komme auf:

x^{2} + \frac{3}{4} y^{2} \leq 3

Ich gebe es in Wolfram ein und es gibt eine Ellipse. Ok super, aber wie zeige ich das jetzt händisch, dass das eine Ellipse ist, gibts hier einen Trick/Formel wie man x und y berechnen kann?

lg

ermanus aktiv_icon

23:28 Uhr, 25.10.2016

Die Standardgleichung für eine Ellipse mit Halbachsen

a

und

b

und
Zentrum im Ursprung ist

(\frac{x}{a})^{2} + (\frac{y}{b})^{2} = 1

.
Wenn z.B.

a = b

ist, bekommst Du eine Kreisgleichung

x^{2} + y^{2} = a^{2}

.

Entsprechend ist die Ungleichung für eine solche Ellipse mit ihrem Inneren,
also sozusagen für eine "gefüllte Ellipse":

(\frac{x}{a})^{2} + (\frac{y}{b})^{2} \leq 1

.

Deine Ungleichung führt zu

(\frac{x}{\sqrt{3}})^{2} + (\frac{y}{2})^{2} \leq 1

.

Damit kannst Du die Ellipse durchaus skizzieren.
Willst Du mehr als die Scheitelpunkte, musst Du halt nach

x

oder

y

auflösen ...

birdbox

23:43 Uhr, 25.10.2016

Großartig, vielen, vielen Dank!!

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